Уравнение Рэлея

Уравне́ние Рэле́я, нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

${\displaystyle {\ddot {x}}+F({\dot {x}})+x=0,\quad {\dot {x}}=dx/dt,}$ (*)

где функция ${\displaystyle F(u)}$ удовлетворяет предположению:

${\displaystyle uF(u)<0\,{\text{ при малых }}\,|u|,}$

${\displaystyle uF(u)>0\,{\text{ при больших }}\,|u|}$.

Уравнение Рэлея описывает типичную нелинейную систему с одной степенью свободы, в которой возможны автоколебания. Названо по имени Рэлея, изучавшего уравнение такого типа в связи с задачами акустики (Рэлей. 1955^[1]).

Если уравнение (*) продифференцировать, а затем положить ${\displaystyle y={\dot {x}}}$, то получится уравнение Льенара

${\displaystyle {\ddot {y}}+f(y){\dot {y}}+y=0;\quad f(u)=F^{\prime }(u)}$.

Частным случаем уравнения Рэлея при

${\displaystyle F(u)=-\lambda \left(u-{\frac {u^{3}}{3}}\right),\quad \lambda ={\text{const}},}$

является уравнение Ван дер Поля. Иногда уравнением Рэлея называется частный случай уравнения (*):

${\displaystyle {\ddot {x}}-(a-b{\dot {x}}^{2}){\dot {x}}+x=0,\quad a>0,\quad b>0}$.

Имеется большое число работ, в которых выясняются условия существования и единственности устойчивого предельного цикла у уравнения Рэлея, т. е. условия возникновения автоколебаний. Вопрос о периодических решениях изучался и для различных обобщений уравнения Рэлея, например для

${\displaystyle {\ddot {x}}+F(x,{\dot {x}}){\dot {x}}+g(x)=e(t),}$

где ${\displaystyle e(t)}$ – периодическая функция.

Системой типа Рэлея часто называется уравнение

${\displaystyle {\ddot {x}}+F({\dot {x}})+G(x)=H(t,x,{\dot {x}}),}$

${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\,F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},\,G\cdot \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$

причём обычно предполагается, что

${\displaystyle F={\text{grad }}f,\quad f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\,f\in C^{1},}$

${\displaystyle G={\text{grad }}g,\quad g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\,g\in C^{2},}$

a ${\displaystyle H}$ – ограниченная и периодическая по ${\displaystyle t}$ вектор-функция. Представляет интерес получение достаточных условий существования периодических решений таких систем.