Уравнение Ван дер Поля

Уравне́ние Ван дер По́ля, нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle 2}$-го порядка

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0.\quad \mu =\operatorname {const} >0,\quad {\dot {x}}(t)\equiv {\frac {dx}{dt}}.}$ (1)

Является важным частным случаем уравнения Льенара. Уравнение Ван дер Поля описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В частности, уравнение (1) служит математической моделью (при ряде упрощающих предположений) лампового генератора на триоде в случае кубической характеристики лампы. Характер решений уравнения (1) был впервые подробно изучен Б. Ван дер Полем (см. Van dеr Pol. 1922^[1]).

Уравнение (1) эквивалентно системе двух уравнений относительно фазовых переменных ${\displaystyle x,v}$:

${\displaystyle {\dot {x}}=v,\quad {\dot {v}}=-x+\mu (1-x^{2})v.}$ (2)

Иногда вместо ${\displaystyle x}$ удобнее ввести переменную ${\displaystyle z(t)=\int _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau }$; тогда уравнение (1) приведётся к уравнению

${\displaystyle {\ddot {z}}-\mu \left({\dot {z}}-{\frac {{\dot {z}}^{3}}{3}}\right)+z=0,}$

являющемуся частным случаем уравнения Рэлея. Если вместе с переменной ${\displaystyle x}$ рассмотреть переменную ${\displaystyle y=-x+{x^{3}}/{3}+{\dot {x}}/{\mu }}$, ввести новое время ${\displaystyle \tau =t/\mu }$ и положить ${\displaystyle \varepsilon =\mu ^{-2}}$, то вместо уравнения (1) получим систему

${\displaystyle \varepsilon x^{\prime }=y-x+{\frac {x^{3}}{3}},\quad y^{\prime }=-x,\quad {}^{\prime }={\frac {d}{d\tau }}.}$ (3)

При любом ${\displaystyle \mu >0}$ в фазовой плоскости системы (2) существует единственный устойчивый предельный цикл, к которому при ${\displaystyle t\to \infty }$ приближаются все остальные траектории (кроме положения равновесия в начале координат); этот предельный цикл адекватен автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. Андронов. 1981^[2]; Лефшец. 1961^[3]; Стокер. 1953^[4]).

При малых ${\displaystyle \mu }$ автоколебания осциллятора (1) близки к простым гармоническим колебаниям (см. Нелинейные колебания) с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ и с определённой амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с большей точностью применяются асимптотические методы. При возрастании ${\displaystyle \mu }$ автоколебания осциллятора (1) всё более отклоняются от гармонических колебаний. При больших ${\displaystyle \mu }$ уравнение (1) описывает релаксационные колебания с периодом (в первом приближении) ${\displaystyle 1,614\mu }$. Известны более точные асимптотические разложения величин, характеризующих релаксационные колебания (см. Дородницын. 1947^[5]); изучение этих колебаний равносильно исследованию решений системы (3) с малым параметром ${\displaystyle \varepsilon }$ при производной (Мищенко. 1975^[6]).

Уравнение

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=E_{0}+E\sin \omega t}$

описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под воздействием внешнего периодического возмущения. Здесь наиболее важны изучение явления захватывания частоты (существования периодических колебаний) и исследование биений (возможности почти периодических колебаний; см. Андронов. 1981; Стокер. 1953).