Уравнение Пелля

Уравне́ние Пе́лля, уравнение вида ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ (${\displaystyle d}$ – натуральное число), решения которого ищутся в целых числах. Если ${\displaystyle d}$ не является квадратом натурального числа, то уравнение Пелля имеет бесконечное множество решений. Решение ${\displaystyle x_{0}=1}$, ${\displaystyle y_{0}=0}$ очевидно. Следующее решение${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ уравнения Пелля можно найти, пользуясь разложением числа ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ в непрерывную дробь. Зная решение ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, всю совокупность решений ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ уравнения Пелля получают из формулы

${\displaystyle (x_{1}+y_{1}{\sqrt {d}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}},\quad n=2,3,\ldots }$

Изучение уравнения Пелля связано с теорией алгебраических чисел. Уравнение Пелля названо по имени английского математика Дж. Пелля (17 в.), которому Л. Эйлер по ошибке приписал один из способов решения этого уравнения. См. также Диофантовы уравнения.