Уравнение Ляпунова – Шмидта

Уравне́ние Ляпуно́ва – Шми́дта, нелинейное интегральное уравнение вида

${\displaystyle u(x)-\int _{\Omega }K(x,s)u(s)\,ds=U_{01}{\begin{pmatrix}x\\v\end{pmatrix}}+\;\sum _{m+n\geqslant 2}U_{mn}{\begin{pmatrix}x\\u,v\end{pmatrix}},\quad x\in \Omega ,}$ (1)

где

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{01}{\begin{pmatrix}x\\v\end{pmatrix}}=K_{0}(x)v(x)+\int _{\Omega }K_{1}(x,s)v(s)\,ds,\\U_{mn}{\begin{pmatrix}x\\u,v\end{pmatrix}}=\sum _{\alpha ,\beta }\int _{\Omega }\cdots \int _{\Omega }K^{(\alpha ,\beta )}(x,s_{1},\ldots ,s_{i})\times \\\times u^{\alpha _{0}}(x)u^{\alpha _{1}}(s_{1})\ldots u^{\alpha _{i}}(s_{i})v^{\beta _{0}}(x)v^{\beta _{1}}(s_{1})\ldots v^{\beta _{i}}(s_{i})\,ds_{1}\ldots ds_{i},\end{aligned}}}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{i})}$, ${\displaystyle \beta =(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{i})}$, ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{i},\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{i}}$ – неотрицательные целые числа,

${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{i}=m,\quad \beta _{0}+\beta _{1}+\ldots +\beta _{i}=n}$,

${\displaystyle \Omega }$ – ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства, ${\displaystyle v}$ и функции ${\displaystyle K}$ – заданные непрерывные функции своих аргументов ${\displaystyle x,s,s_{1},\ldots ,s_{i}\in \Omega }$, ${\displaystyle u}$ – искомая функция. Сумма, входящая в правую часть равенства (1), может быть конечной или представлять бесконечный ряд. В последнем случае ряд называется интегро-степенным рядом от двух функциональных аргументов. Предполагается, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Если единица не является характеристическим числом ядра ${\displaystyle K(x,s)}$, то уравнение (1) при достаточно малом ${\displaystyle \mid v(x)\mid }$ в классе непрерывных функций имеет единственное малое решение, представимое в виде интегро-степенного ряда. Случай, когда единица есть характеристическое число ядра ${\displaystyle K}$, является более сложным. В этом случае строится некоторая система уравнений – уравнение разветвления:

${\displaystyle \omega _{k}\left(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n},v\right)=0,\quad k=1,\ldots ,n,}$ (2)

где ${\displaystyle \omega _{k}}$ – известные степенные ряды, ${\displaystyle n}$ – кратность характеристического числа 1. Система (2) в общем случае имеет неединственное решение. Какова бы ни была фиксированная достаточно малая функция ${\displaystyle v}$, каждому малому непрерывному решению системы (2) (непрерывное решение системы (2) называется малым, если ${\displaystyle \xi _{i}(0)=0}$) соответствует малое решение уравнения (1), представимое в виде интегро-степенного ряда.

Уравнение типа (1) впервые было рассмотрено А. М. Ляпуновым в 1906 г., а позднее, в более общем виде – Э. Шмидтом в 1908 г.