Уравнение Колмогорова

Уравне́ние Колмого́рова, уравнение вида

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial s}}=-A_{s}f}$ (1)

(обратное, или первое, уравнение; ${\displaystyle s<t}$) или вида

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=A_{t}^{*}f}$ (2)

(прямое, или второе, уравнение; ${\displaystyle t>s}$) для переходной функции [${\displaystyle f=P(s,x;t,\Gamma )}$, ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t<\infty }$, ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle \Gamma \in {\mathfrak {B}}}$, ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ – измеримое пространство] или её плотности [${\displaystyle f=p(s,x;t,\Gamma )}$, если она существует], к уравнению (1) для переходной функции ${\displaystyle {P}(s,x;t,\Gamma )}$присоединяется условие

${\displaystyle \lim _{s\uparrow t}P(s,x;t,\Gamma )=I_{\Gamma }(x)}$,

а к уравнению (2) – условие

${\displaystyle \lim _{t\downarrow s}P(s,x;t,\Gamma )=I_{\Gamma }(x)}$,

где ${\displaystyle I_{\Gamma }(x)}$ – индикатор множества ${\displaystyle \Gamma }$; в этом случае оператор ${\displaystyle A_{s}}$ – оператор, действующий в пространстве функций, а ${\displaystyle A_{t}^{*}}$ – в пространстве обобщённых мер.

Для марковских процессов со счётным множеством состояний переходная функция полностью определяется вероятностями перехода ${\displaystyle p_{ij}(s,t)=P(s,i;t,\{j\})}$ (из состояния ${\displaystyle i}$ в момент ${\displaystyle s}$ в состояние ${\displaystyle j}$ в момент ${\displaystyle t}$ ), для которой обратное и прямое уравнения Колмогорова имеют (при некоторых дополнительных предположениях) следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial p_{ij}(s,t)}{\partial s}}=\sum _{k}\alpha _{ik}(s)p_{kj}(s,t),\quad s<t,}$ (3)

${\displaystyle {\frac {\partial p_{ij}(s,t)}{\partial t}}=\sum _{k}p_{ik}(s,t)\alpha _{kj}(t),\quad t>s,}$ (4)

где

${\displaystyle \alpha _{ij}(s)=\lim _{s_{1}\uparrow s,\,s_{2}\uparrow s}{\frac {p_{ij}\left(s_{1},s_{2}\right)-\delta _{ij}}{s_{2}-s_{1}}}.}$ (5)

В случае конечного числа состояний уравнения (3), (4) справедливы, если только предположить существование пределов в (5).

Другой важный класс процессов, для которых детально изучен вопрос о справедливости уравнений (1) и (2), – это процессы диффузионного типа, определяемые тем, что их переходная функция ${\displaystyle {P}(s,x;t,\Gamma )}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, удовлетворяет следующим условиям:

a) для всякого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ равномерно по ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle s<t}$,

${\displaystyle \int _{|x-y|>\varepsilon }P(s,x;t,dy)=o(t-s)}$,

б) существуют функции ${\displaystyle a(s,x)}$ и ${\displaystyle b(s,x)}$ такие, что для всякого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ равномерно по ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle s<t}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{|x-y|\leqslant \varepsilon }(y-x)P(s,x;t,dy)=a(s,x)(t-s)+o(t-s),\\&\int _{|x-y|\leqslant \varepsilon }(y-x)^{2}P(s,x;t,dy)=b(s,x)(t-s)+o(t-s).\end{aligned}}}$

Тогда, если существует плотность ${\displaystyle p=p(s,x;t,y)}$, то (при некоторых дополнительных предположениях) справедливо (по ${\displaystyle t>s}$ и ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$) прямое уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial y}}(ap)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}(bp)}$

(называемое также уравнением Фоккера – Планка), а обратное уравнение (по ${\displaystyle s<t}$ и ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ) имеет следующий вид:

${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial s}}=a{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {b}{2}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}}$.