Уравнение Фоккера – Планка

Уравне́ние Фо́ккера – Пла́нка, дифференциальное уравнение в частных производных для функции распределения в статистической физике ${\displaystyle f({\mathbf {x} },t)}$, определённой в многомерном фазовом пространстве по переменным ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$. Частным случаем уравнения Фоккера – Планка является уравнение Эйнштейна – Смолуховского, впервые полученное при описании броуновского движения. Уравнение Фоккера – Планка имеет вид ${\displaystyle \partial f/\partial t+L_{FP}=0}$, где ${\displaystyle t}$ – время, ${\displaystyle L_{FP}={\text{А}}_{FP}+B_{FP}}$ – т. н. оператор Фоккера – Планка, содержащий 1-ю и 2-ю производные по переменным ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ (как правило, координатам и импульсам):

${\displaystyle {\text{А}}_{FP}=-(\partial /\partial x)[a({\mathbf {x} })f({\mathbf {x} },t)],B_{FP}=(1/2)(\partial ^{2}/\partial x^{2})[b({\mathbf {x} })f({\mathbf {x} },t)]}$.

C физической точки зрения уравнение Фоккера – Планка описывает обобщённый диффузионный процесс, причём коэффициент ${\displaystyle a({\mathbf {x} })}$ соответствует регулярному конвективному движению (сносу), тогда как коэффициент ${\displaystyle b({\mathbf {x} })}$ (всегда неотрицательный) имеет смысл коэффициента диффузии и является мерой (дисперсией) случайного расплывания в фазовом пространстве. Для уравнения Фоккера – Планка в пределе ${\displaystyle {\ce {t->\infty }}}$ возможно существование стационарного решения ${\displaystyle f_{\text{ст}}({\mathbf {x} })}$, для которого ${\displaystyle \partial f/\partial t=0}$, так что ${\displaystyle L_{FP}^{\text{ст}}=0}$. Наиболее известный пример ${\displaystyle f_{\text{ст}}(x)}$ (в одномерном случае) – распределение Максвелла, для которого ${\displaystyle x}$ – величина скорости частицы идеального газа, ${\displaystyle a(x)=-1}$, ${\displaystyle b(x)=2kT/m}$, ${\displaystyle k}$ – постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ – абсолютная температура, ${\displaystyle m}$ – масса частицы.