Тест Дики – Фуллера

Процесс построения теста Дики – Фуллера начинается с рассмотрения простейшего процесса авторегрессии первого порядка [AR(1)] в виде:

${\displaystyle y_{t}=\Theta y_{t-1}+\epsilon _{t}}$, (1)

где ${\displaystyle y_{t}}$ – значение временно́го ряда в момент ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \theta }$ – коэффициент, ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ – случайная ошибка.

Временной ряд является стационарным, а значит, не содержит единичный корень и описывается авторегрессионым процессом первого порядка, когда ${\displaystyle \mid \Theta \mid <1}$; при ${\displaystyle \Theta =1}$ временной ряд нестационарен, содержит единичный корень и описывается процессом случайного блуждания.

Затем из левой и правой части уравнения (1) вычитается значение временно́го ряда в прошлый момент времени и проводится переобозначение слагаемых:

${\displaystyle y_{t}-y_{t-1}=\Theta y_{t-1}-y_{t-1}+\epsilon _{t}}$,

${\displaystyle \Delta y_{t}=(\Theta -1)y_{t-1}+\epsilon _{t}}$,

где ${\displaystyle \Delta }$ – оператор разности. Переобозначив ${\displaystyle b=\Theta -1}$, получаем:

${\displaystyle \Delta y_{t}=by_{t-1}+\epsilon _{t}}$. (2)

Уравнение (2) оценивается с помощью метода наименьших квадратов, после чего проверяется статистическая значимость оценки коэффициента ${\displaystyle b}$. Нулевая гипотеза о незначимости коэффициента ${\displaystyle H_{0}:b=0{\text{ }}(\Theta =1)}$ соответствует ситуации нестационарного временно́го ряда. Она проверяется против альтернативной гипотезы, предполагающей, что коэффициент ${\displaystyle b}$ значим и отрицателен ${\displaystyle H_{1}:b<0{\text{ }}(\mid \Theta \mid <1)}$, которая соответствует ситуации стационарного временно́го ряда.

Расчётная статистика имеет распределение Дики – Фуллера:

${\displaystyle {\hat {\tau }}={\frac {\hat {b}}{se({\hat {b}})}}\sim DF_{I}}$.

Полученное расчётное значение ${\displaystyle {\hat {\tau }}}$ сравнивается с критическим значением из таблицы Дики – Фуллера. Если расчётное значение отрицательное и меньше критического, то нулевая гипотеза отклоняется и делается вывод о стационарности временно́го ряда.

Помимо рассмотренной, существуют ещё две версии теста Дики – Фуллера:

• Тест Дики – Фуллера с константой: ${\displaystyle \Delta y_{t}=\alpha +by_{t-1}+\epsilon _{t}}$.
• Тест Дики – Фуллера с константой и трендом: ${\displaystyle \Delta y_{t}=\alpha +\gamma t+by_{t-1}+\epsilon _{t}}$. Для каждой из версий теста рассчитываются свои критические значения ${\displaystyle DF}$-статистики, которые берутся из специальной таблицы.

Расширенный тест Дики – Фуллера используется для более общего случая авторегрессионного процесса порядка p. В этом случае уравнение (1) приобретает вид:

${\displaystyle y_{t}=\Theta _{1}y_{t-1}+\Theta _{2}y_{t-2}+\cdots +\Theta _{p}y_{t-p}+\epsilon _{t}}$,

а МНК-оценка применяется к следующей модели:

${\displaystyle \Delta y_{t}=by_{t-1}+{\text{с}}_{1}\Delta y_{t-1}+{\text{с}}_{2}\Delta y_{t-2}+\cdots {\text{с}}_{p}\Delta y_{t-p}+\epsilon _{t}}$.

Нулевая и альтернативные гипотезы формулируются точно так же, как и в обычном тесте Дики – Фуллера. Расчётная статистика имеет такое же распределение Дики – Фуллера, как и в случае обычного теста Дики – Фуллера:

${\displaystyle {\hat {\tau }}={\frac {\hat {b}}{se({\hat {b}})}}\sim DF_{I}}$.

Решение о стационарности принимается на основе тех же рассуждений относительно отвержения либо неотвержения нулевой гипотезы.