Теоремы Лагранжа

Теоре́мы Лагра́нжа, 1) теорема Лагранжа в дифференциальном исчислении – см. в статье Формула конечных приращений.

2) Теорема Лагранжа в теории групп: порядок ${\displaystyle |G|}$ любой конечной группы ${\displaystyle G}$ делится на порядок ${\displaystyle |H|}$ любой её подгруппы ${\displaystyle H}$. Фактически теорема была доказана Ж.-Л. Лагранжем (1771) при изучении свойств подстановок в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах.

3) Теорема Лагранжа о сравнениях: число решений сравнения

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}\equiv 0({\bmod {p}}),\quad a_{0}\not \equiv 0({\bmod {p}}),}$

по простому модулю ${\displaystyle p}$ не превосходит его степени ${\displaystyle n}$. Доказана Ж.-Л. Лагранжем (Lagrange. 1868^[1]). Обобщается на многочлены с коэффициентами из произвольной области целостности.

4) Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов: всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Установлена Ж.-Л. Лагранжем (Démonstration d’un théorème d’arithmétique. 1770). Об обобщении теоремы Лагранжа см. в статье Проблема Варинга.

5) Теорема Лагранжа о цепных дробях: всякая цепная дробь, представляющая квадратическую иррациональность, является периодической. Установлена Ж-Л. Лагранжем (Additions au Mémoire sur la Résolution des Équations Numériques. 1770).