Теорема непрерывности для голоморфных функций

Теоре́ма непреры́вности для голомо́рфных фу́нкций (принцип непрерывности), пусть ${\displaystyle G}$ – область голоморфности в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, и ${\displaystyle S_{k}\Subset G}$ и ${\displaystyle T_{k}\Subset G}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, – любые последовательности множеств, для которых имеет место принцип максимума относительно модулей функции ${\displaystyle f}$, голоморфной в ${\displaystyle G}$, т. е.

${\displaystyle \mid f(z)\mid \leqslant \max _{z\in T_{k}}\mid f(z)\mid ,\quad z\in S_{k},\quad k=1,2,\ldots }$;

тогда если ${\displaystyle S_{k}}$ сходятся к некоторому ограниченному множеству ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle T_{k}}$ – к множеству ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle T\Subset S}$, то ${\displaystyle S\Subset G}$. Если в качестве ${\displaystyle S_{k}}$ взять аналитические гиперповерхности и в качестве ${\displaystyle T_{k}}$ – их границы ${\displaystyle \partial S_{k}}$, то получают теорему Беенке – Зоммера (см. Behnke. 1934^[1]). Отсюда следует, что всякая область голоморфности псевдовыпукла. Применительно к конкретной функции некоторые модификации теоремы непрерывности известны как теоремы о «диске». Например, т. н. сильная теорема о «диске» утверждает следующее. Пусть в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n-1}}$ задана жорданова кривая вида

${\displaystyle {\tilde {z}}(t)={\tilde {z}}_{0}+{\tilde {b}}\lambda (t),\quad 0\leqslant t\leqslant 1,\quad {\tilde {b}}\in \mathbb {C} ^{n-1},\quad {\tilde {z}}=\left(z_{2},\ldots ,z_{n}\right)}$.

Пусть ${\displaystyle D(t)}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$, – семейство областей в плоскости ${\displaystyle z_{1}}$, обладающее тем свойством, что для любого компакта ${\displaystyle K\subset D(0)}$ найдётся число ${\displaystyle \eta =\eta (K)}$, для которого ${\displaystyle K\subset D(t)}$ при всех ${\displaystyle 0\leqslant t<\eta }$. Тогда если ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в точках «дисков»

{{center|${\displaystyle \left[z=\left(z_{1},{\tilde {z}}\right):z_{1}\in D(t),\,\,{\tilde {z}}={\tilde {z}}(t),\,\,0\right.}$

${\displaystyle \left[z=\left(z_{1},{\tilde {z}}\right):z_{1}\in D(0),\,\,{\tilde {z}}={\tilde {z}}(0)\right]}$,

то ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна и во всех точках предельного «диска». Теоремы о «диске» весьма полезны при голоморфном расширении областей и при построении оболочек голоморфности, например при доказательстве теоремы Бохнера об оболочке голоморфности трубчатой области, при доказательстве теорем Осгуда – Брауна, «о вложенном ребре», «об острие клина», «о ${\displaystyle C}$-выпуклой оболочке» и др.