Теорема Крамера

Теоре́ма Кра́мера, интегральная предельная теорема для вероятностей больших отклонений (уклонений) сумм независимых случайных величин. Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ – последовательность независимых случайных величин с общей невырожденной функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$, такой, что ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{1}=0}$ и производящая функция моментов ${\displaystyle {\mathsf {E}}e^{tX_{1}}}$ конечна в некотором интервале ${\displaystyle \mid t\mid <H}$ (последнее условие называется условием Крамера). Пусть

${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{1}^{2}=\sigma ^{2},\quad F_{n}(x)={\mathsf {P}}\left(\sigma ^{-1}n^{-1/2}\sum _{j=1}^{n}X_{j}<x\right)}$.

Если ${\displaystyle x>1}$, ${\displaystyle x=o({\sqrt {n}})}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$, то

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1-F_{n}(x)}{1-\Phi (x)}}&=\exp \left\{{\frac {x^{3}}{\sqrt {n}}}\,\lambda \left({\frac {x}{\sqrt {n}}}\right)\right\}\left[1+O\left({\frac {x}{\sqrt {n}}}\right)\right],\\{\frac {F_{n}(-x)}{\Phi (-x)}}&=\exp \left\{-{\frac {x^{3}}{\sqrt {n}}}\,\lambda \left(-{\frac {x}{\sqrt {n}}}\right)\right\}\left[1+O\left({\frac {x}{\sqrt {n}}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle \Phi (x)}$ – нормальная (0, 1) функция распределения, ${\displaystyle \lambda (t)=\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}t^{k}}$ – т. н. ряд Крамера, коэффициенты которого зависят только от моментов случайной величины ${\displaystyle X_{1}}$; этот ряд сходится для всех достаточно малых ${\displaystyle t}$. Несколько более слабый по сравнению с приведённым выше результат был получен Х. Крамером (^[1]).