Теорема Коши – Ковалевской

Теоре́ма Коши́ – Ковале́вской, теорема, утверждающая существование (единственного) аналитического решения задачи Коши в малом, если функции, задающие дифференциальное уравнение или систему этих уравнений и все начальные данные вместе с их нехарактеристическим носителем, являются аналитическими.

Для системы ${\displaystyle k}$ дифференциальных уравнений с частными производными с ${\displaystyle k}$ неизвестными функциями ${\displaystyle u_{1}\left(x,x_{0}\right),\ldots ,u_{k}\left(x,x_{0}\right)}$ вида

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}u_{i}}{\partial x_{0}^{m}}}=F_{i}\left(x_{0},x,u,{\frac {\partial ^{m_{1}+\ldots +m_{n}}u}{\partial x_{0}^{m_{0}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}}\right),}$ (1)

где

${\displaystyle {\begin{aligned}i=1,\ldots ,k,\quad x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\quad u=\left(u_{1},\ldots ,u_{k}\right),\\\sum _{j=0}^{n}m_{j}\leqslant m,\quad m_{0}<m,\quad m\geqslant 1,\end{aligned}}}$

теорема Коши – Ковалевской формулируется следующим образом: задача Коши

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{j}u_{i}}{\partial x_{0}^{j}}}\right|_{\sigma }=\varphi _{ij}(x),\quad i=1,\ldots ,k;\quad j=0,1,\ldots ,m-1,}$ (2)

где ${\displaystyle \sigma =\left\{\left(x,x_{0}\right),\,x_{0}=0,\,x\in \Omega _{0}\right\}}$ – носитель начальных данных ${\displaystyle \varphi _{ij}}$, всегда имеет и притом единственное аналитическое решение ${\displaystyle u\left(x,x_{0}\right)}$ в некоторой области ${\displaystyle \Omega }$ пространства переменных ${\displaystyle x_{0},x}$, содержащей ${\displaystyle \Omega _{0}}$, если ${\displaystyle F_{i}}$ и ${\displaystyle \varphi _{ij}}$ являются аналитическими функциями всех своих аргументов.

Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle P(x,D)u\equiv \sum _{|\alpha |\leqslant m}A_{\alpha }(x)D^{\alpha }u=B(x),}$ (3)

где ${\displaystyle \alpha =\left(\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$ – вектор с неотрицательными целочисленными координатами;

${\displaystyle |\alpha |=\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}}$

– порядок дифференциального оператора

${\displaystyle D^{\alpha }=D_{0}^{\alpha _{0}}D_{1}^{\alpha _{1}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}},\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}},\quad j=0,1,\ldots ,n;}$

${\displaystyle A_{\alpha }(x)}$, ${\displaystyle x=\left(x_{0},\ldots ,x_{n}\right)}$ – заданная квадратная матрица порядка ${\displaystyle N}$; ${\displaystyle u(x)=\left\|u_{j}(x)\right\|}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,N}$ – искомый вектор-столбец; ${\displaystyle B(x)}$ – заданный вектор с ${\displaystyle N}$ компонентами.

Вообще говоря, теорема Коши – Ковалевской не исключает существования неаналитических, помимо аналитического, решений задачи Коши. Однако для линейной системы дифференциальных уравнений (3) с аналитическими коэффициентами ${\displaystyle {A}_{\alpha }(x)}$ и условиями Коши на аналитической нехарактеристической поверхности ${\displaystyle \sigma }$ задача Коши имеет не более одного решения в некоторой окрестности ${\displaystyle \Omega _{0}}$ поверхности ${\displaystyle \sigma }$. При этом не предполагается аналитичность начальных данных и решения ${\displaystyle u(x)}$.

Решение задачи Коши (1), (2), существование которого гарантируется теоремой Коши – Ковалевской, может оказаться неустойчивым (т. к. малое изменение начальных данных ${\displaystyle \varphi _{ij}(x)}$ может вызвать сильное изменение решения), например, в том случае, когда система (1) принадлежит эллиптическому типу. При неаналитических начальных данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться случаем, когда система (1) является гиперболической.

Теорема Коши – Ковалевской для широкого класса уравнений обобщена на случай, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке (см. ^[1]; ^[2]). В этом случае начальные функции не могут быть заданы произвольно; они должны удовлетворять определённым условиям, которые диктуются дифференциальным уравнением.

Характеристическая задача Коши может иметь неединственное решение. В частности, имеет место следующее утверждение. Пусть ${\displaystyle P(x,D)}$ – дифференциальный оператор порядка ${\displaystyle m}$ с главной частью ${\displaystyle P_{m}(x,D)}$ и с вещественными аналитическими коэффициентами, определённый в окрестности ${\displaystyle \Omega }$ точки ${\displaystyle x^{0}}$ из евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \varphi }$ – вещественная аналитическая в ${\displaystyle \Omega }$ функция, такая, что

${\displaystyle \operatorname {grad} \varphi \left(x^{0}\right)\neq 0\quad {\text{и}}\quad P_{m}(x,\operatorname {grad} \varphi )=0}$,

но ${\displaystyle P_{m}^{(j)}(x,\operatorname {grad} \varphi )\neq 0}$ для некоторого ${\displaystyle j}$ при ${\displaystyle x=x^{0}}$. Тогда существует такая окрестность ${\displaystyle \Omega _{0}}$ точки ${\displaystyle x^{0}}$ и аналитическая при ${\displaystyle \varphi (x)\neq \varphi \left(x^{0}\right)}$ функция ${\displaystyle u(x)}$ из класса ${\displaystyle C^{m}\left(\Omega _{0}\right)}$, что ${\displaystyle P(x,D)u=0}$ и

${\displaystyle \operatorname {supp} u=\left\{x\mid x\in \Omega _{0},\,\,\varphi (x)\leqslant \varphi \left(x_{0}\right)\right\}}$.

Если начальное многообразие является характеристическим вдоль некоторых кривых, то, вообще говоря, решение характеристической задачи Коши многозначно в некоторой окрестности начальной поверхности и степень ветвления определяется геометрической природой соответствующих характеристических поверхностей. Теорема доказана С. В. Ковалевской (1875).