Алгебра с делением

А́лгебра с деле́нием, алгебра ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle F}$, для любых элементов ${\displaystyle a\neq 0}$ и ${\displaystyle b}$ которой уравнения ${\displaystyle ax=b}$ и ${\displaystyle ya=b}$ разрешимы в ${\displaystyle A}$. Ассоциативная алгебра с делением, рассматриваемая как кольцо, является телом, а её центр ${\displaystyle C}$ – полем, и ${\displaystyle C\supseteq F}$. Если ${\displaystyle C=F}$, то алгебра с делением ${\displaystyle {A}}$ называется центральной алгеброй с делением. Конечномерные центральные ассоциативные алгебры с делением над ${\displaystyle F}$, рассматриваемые с точностью до изоморфизма, можно отождествить с элементами группы Брауэра ${\displaystyle B(F)}$ поля ${\displaystyle F}$. Пусть ${\displaystyle [A:F]}$ обозначает размерность ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle A\in B(F)}$ и ${\displaystyle L}$ – максимальное подполе в ${\displaystyle A}$, т. е. ${\displaystyle L\supseteq F}$, то ${\displaystyle [A:F]=[L:F]^{2}}$. Согласно теореме Фробениуса, все ассоциативные конечномерные алгебры с делением над полем действительных чисел ${\displaystyle R}$ исчерпываются самим ${\displaystyle R}$, полем комплексных чисел и алгеброй кватернионов. Поэтому группа ${\displaystyle B(R)}$ является циклической порядка ${\displaystyle 2}$. При отказе от ассоциативности появляется ещё один пример алгебры с делением над полем действительных чисел – алгебра Кэли – Диксона. Эта алгебра альтернативна и имеет размерность 8 над ${\displaystyle R}$. Если ${\displaystyle A}$ – конечномерная (не обязательно ассоциативная) алгебра с делением над ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle [A:R]}$ имеет одно из следующих значений: ${\displaystyle 1,2,4,8}$.