Средняя кривизна

Сре́дняя кривизна́ поверхности ${\displaystyle \Phi ^{2}}$ в евклидовом трёхмерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, полусумма главных кривизн ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$, вычисленных в точке ${\displaystyle A}$ этой поверхности:

${\displaystyle H(A)={\frac {1}{2}}\left(k_{1}+k_{2}\right)}$.

Для гиперповерхности ${\displaystyle \Phi ^{n}}$ в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ эта формула обобщается следующим образом:

${\displaystyle H(A)={\frac {1}{n}}\left(k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{n}\right),}$

где ${\displaystyle k_{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$, – главные кривизны гиперповерхности, вычисленные в точке ${\displaystyle A\in \Phi ^{n}}$.

Средняя кривизна поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ может быть выражена через коэффициенты первой и второй квадратичных форм этой поверхности:

${\displaystyle H(A)={\frac {1}{2}}{\frac {LG-2MF+NE}{EG-F^{2}}},}$

где ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$ – коэффициенты первой квадратичной формы, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$ – коэффициенты второй квадратичной формы, вычисленные в точке ${\displaystyle A\in \Phi ^{2}}$. В частном случае задания поверхности уравнением ${\displaystyle z=f(x,y)}$ средняя кривизна вычисляется по формуле:

${\displaystyle H(A)={\frac {\left(1+f_{y}^{\prime 2}\right)^{2}f_{xx}^{\prime \prime }-2f_{x}^{\prime }f_{y}^{\prime }f_{xy}^{\prime \prime }+\left(1+f_{x}^{\prime 2}\right)f_{yy}^{\prime \prime }}{\left(1+f_{x}^{\prime 2}+f_{y}^{\prime 2}\right)^{3/2}}},}$

которая обобщается для гиперповерхности ${\displaystyle \Phi ^{n}}$ в ${\displaystyle R^{n+1}}$, заданной уравнением ${\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$:

${\displaystyle H(A)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(1+p^{2}-f_{x_{i}}^{\prime 2}\right){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}-\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}{\left(1+p^{2}\right)^{3/2}}},}$

где

${\displaystyle p^{2}=|\operatorname {grad} f|^{2}=f_{x_{1}}^{\prime 2}+f_{x_{2}}^{\prime 2}+\ldots +f_{x_{n}}^{\prime 2}}$.