Главная кривизна

Гла́вная кривизна́, нормальная кривизна поверхности в главном направлении, т. е. в направлении, где она достигает своего экстремального значения. Главные кривизны ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ являются корнями квадратного уравнения

${\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}L-kE&M-kF\\M-kF&N-kG\end{array}}\right|=0}$ (*),

где ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ – коэффициенты первой квадратичной формы, а ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ – второй квадратичной формы поверхности, вычисленные в данной точке.

Полусумма главных кривизн ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ поверхности равна средней кривизне, а произведение – гауссовой кривизне поверхности. Уравнение (*) может быть записано в виде

${\displaystyle k^{2}-2Hk+K=0}$,

где ${\displaystyle H}$ – средняя, ${\displaystyle K}$ – полная кривизны поверхности в данной точке.

Главные кривизны ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ связаны с нормальной кривизной ${\displaystyle {\tilde {k}}}$ в произвольно выбранном направлении формулой Эйлерa:

${\displaystyle {\tilde {k}}=k_{1}\cos ^{2}\varphi +k_{2}\sin ^{2}\varphi }$,

где ${\displaystyle \varphi }$ – угол, образуемый выбранным направлением с главным направлением для кривизны ${\displaystyle k_{1}}$.