Проективный спектр кольца

Проекти́вный спектр кольца́, схема ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$, сопоставляемая градуированному кольцу ${\displaystyle R=\sum _{n=0}^{\infty }R_{n}}$. Как множество точек ${\displaystyle X}$ представляет собой множество однородных простых идеалов ${\displaystyle p\subset R}$, таких, что ${\displaystyle p\not \supset \sum _{n=1}^{\infty }R_{n}}$. Топология на ${\displaystyle X}$ определяется следующим базисом открытых множеств: ${\displaystyle X_{f}=\{p\mid f\notin p\}}$ для ${\displaystyle f\in R_{n}}$, ${\displaystyle n>0}$. Структурный пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ локально окольцованного пространства ${\displaystyle X}$ задаётся на базисных открытых множествах так: ${\displaystyle \Gamma \left(X_{f},{\mathcal {O}}_{X}\right)=\left[R_{(f)}\right]_{0}}$, т. е. подкольцо элементов степени 0 кольца частных ${\displaystyle R_{(f)}}$ по мультипликативной системе ${\displaystyle \left\{f^{n}\right\}_{n\geqslant 0}}$.

Наиболее важным примером проективного спектра является ${\displaystyle P^{n}=\operatorname {Proj} \mathbb {Z} \left[T_{0},T_{1},\ldots ,T_{n}\right]}$. Множество его ${\displaystyle k}$-значных точек ${\displaystyle P_{k}^{n}}$ для любого поля ${\displaystyle k}$ находится в естественном соответствии с множеством точек проективного ${\displaystyle n}$-мерного пространства над полем ${\displaystyle k}$.

Если все кольца ${\displaystyle R_{m}}$ как ${\displaystyle R_{0}}$-модули натянуты на ${\displaystyle \underbrace {R_{1}\otimes \ldots \otimes R_{1}} _{m}}$, то на ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$ определена ещё дополнительная структура. А именно, покрытие ${\displaystyle \left\{X_{f}\mid f\in R_{1}\right\}}$ и единицы ${\displaystyle f/g}$ определяют 1-коцикл Чеха на ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$, которому отвечает обратимый пучок, обозначаемый через ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$. Через ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ принято обозначать ${\displaystyle n}$-ю тензорную степень ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)^{\otimes n}}$ пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$. Существует канонический гомоморфизм ${\displaystyle R_{n}{\stackrel {\varphi _{n}}{\longrightarrow }}\Gamma (X,{\mathcal {O}}(n))}$, указывающий геометрический смысл градуировки кольца ${\displaystyle R}$ (Мамфорд. 1968^[1]). Если, например, ${\displaystyle R=k\left[T_{0},\ldots ,T_{n}\right]}$, то ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ соответствует пучку гиперплоских сечений в ${\displaystyle P_{k}^{n}}$.