Сопряжённая матрица

Сопряжённая ма́трица (эрмитово сопряжённая матрица) с данной (прямоугольной или квадратной) матрицей ${\displaystyle A=\left\|a_{ik}\right\|}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел, матрица ${\displaystyle A^{*}}$, каждый элемент ${\displaystyle a_{ik}^{*}}$ которой комплексно сопряжён с элементом ${\displaystyle a_{ki}}$ матрицы ${\displaystyle A}$, т. е. ${\displaystyle a_{ik}^{*}={\overline {a_{ki}}}}$. Сопряжённая матрица совпадает с комплексно сопряжённой транспонированной матрицей: ${\displaystyle A^{*}=\left({\overline {{A}^{\prime }}}\right)}$.

Свойства сопряжённой матрицы:

${\displaystyle {\begin{aligned}(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*},\quad (\lambda A)^{*}={\bar {\lambda }}A^{*},\\(AB)^{*}=B^{*}A^{*},\quad \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*},\quad \left(A^{*}\right)^{*}=A.\end{aligned}}}$

Сопряжённые матрицы соответствуют сопряжённым между собой линейным отображениям унитарных пространств в ортонормированных базисах.