Скобки Якоби

Ско́бки Яко́би (скобки Майера), дифференциальное выражение

${\displaystyle [F,G]=\sum _{k=1}^{n}{\biggl [}{\frac {\partial F}{\partial p_{k}}}{\biggl (}{\frac {\partial F}{\partial x_{k}}}+p_{k}{\frac {\partial G}{\partial u}}{\biggr )}-{\frac {\partial G}{\partial p_{k}}}{\biggl (}{\frac {\partial F}{\partial p_{k}}}+p_{k}{\frac {\partial F}{\partial u}}{\biggr )}{\biggr ]}}$ (1)

от двух функций ${\displaystyle F(x,u,p)}$ и ${\displaystyle G(x,u,p)}$ ${\displaystyle 2n+1}$ независимых переменных ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$, ${\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{n})}$ и ${\displaystyle u}$.

Основные свойства:

1) ${\displaystyle [F,G]=-[G,F]}$;

2) ${\displaystyle [F,GH]=G[F,H]+H[F,G]}$;

3) если ${\displaystyle G=g(y)}$, ${\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{s})}$ и ${\displaystyle y_{i}=f_{i}(x)}$, то ${\displaystyle [F,G]=\sum _{i=1}^{s}{\frac {\partial g}{\partial y_{i}}}[F,f_{i}]}$;

4) ${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]={\frac {\partial F}{\partial u}}[G,H]+{\frac {\partial G}{\partial u}}[H,F]+{\frac {\partial H}{\partial u}}[F,G]}$.

Последнее свойство носит название тождества Якоби ( Jасоbi. 1862; Mayer. 1876).

Выражение (1) иногда записывается в виде

${\displaystyle \sum _{k=i}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial F}{\partial p_{k}}}{\frac {dG}{dx_{k}}}-{\frac {\partial G}{\partial p_{k}}}{\frac {dF}{dx_{k}}}{\biggr )},}$

где принято символическое обозначение

${\displaystyle {\frac {dH}{dx_{k}}}={\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}+p_{k}{\frac {\partial H}{\partial u}}.}$ (2)

Если переменные ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle p_{k}}$ трактовать как значения функций от ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$, причём ${\displaystyle p_{k}=\partial u/\partial x_{k}}$, ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, то (2) приобретает смысл полной производной по ${\displaystyle x_{k}}$.

Если функции ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ не зависят от ${\displaystyle u}$, то их скобка Якоби (1) переходит в скобку Пуассона.