Симметричная алгебра

Симметри́чная а́лгебра, алгебра ${\displaystyle E}$ над полем комплексных чисел, снабжённая инволюцией ${\displaystyle x\rightarrow x^{*}}$, ${\displaystyle x\in E}$. Примерами симметричной алгебры являются: алгебра непрерывных функций на компакте, в которой инволюция определяется как переход к комплексно-сопряжённой функции; алгебра ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве, в которой инволюция определяется как переход к сопряжённому оператору; групповая алгебра локально компактной группы; алгебра мер на локально компактной группе. Элемент ${\displaystyle x^{*}}$ алгебры ${\displaystyle E}$ называется сопряжённым к элементу ${\displaystyle x}$; элемент ${\displaystyle x\in E}$ называется самосопряжённым, или эрмитовым, если ${\displaystyle x^{*}=x}$, и нормальным, если ${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$; если алгебра ${\displaystyle E}$ содержит единичный элемент 1, то элемент ${\displaystyle x\in E}$, удовлетворяющий условию ${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}=1}$, называется унитарным. Множество ${\displaystyle E_{h}}$ эрмитовых элементов алгебры есть действительное векторное подпространство в ${\displaystyle E}$, и любой элемент ${\displaystyle x\in E}$ однозначно представляется в виде ${\displaystyle x=x_{1}+ix_{2}}$, где ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in E_{h}}$; элемент ${\displaystyle x\in E}$ нормален тогда и только тогда, когда элементы ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ перестановочны. Всякий элемент вида ${\displaystyle x^{*}x}$ эрмитов; единичный элемент эрмитов. Если ${\displaystyle x}$ обратим, то ${\displaystyle x^{*}}$ также обратим и ${\displaystyle \left(x^{*}\right)^{-1}=\left(x^{-1}\right)^{*}}$. Спектр каждого эрмитова элемента симметричен относительно действительной оси. Симметричная алгебра ${\displaystyle E}$ называется вполне симметричной алгеброй, если спектр любого элемента вида ${\displaystyle x^{*}x}$, ${\displaystyle x\in E}$, содержится в множестве неотрицательных действительных чисел. Примерами вполне симметричных алгебр являются: симметричная алгебра непрерывных функций на компакте; симметричная алгебра ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве; групповые алгебры компактных и коммутативных локально компактных групп. Групповые алгебры некомпактных полупростых групп Ли не являются вполне симметричными. Коммутативная симметричная алгебра ${\displaystyle E}$ тогда и только тогда вполне симметрична, когда все максимальные идеалы в ${\displaystyle E}$ симметричны, или тогда и только тогда, когда всякий характер коммутативной алгебры ${\displaystyle E}$ эрмитов. Любая ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра вполне симметрична.

Подмножество ${\displaystyle M}$ симметричной алгебры ${\displaystyle E}$ называется симметричным, если ${\displaystyle x^{*}\in M}$ для всех ${\displaystyle x\in M}$. Отображение ${\displaystyle \varphi }$ симметричной алгебры ${\displaystyle E}$ в симметричную алгебру ${\displaystyle F}$ называется симметричным, если ${\displaystyle \varphi (x)^{*}=\varphi \left(x^{*}\right)}$ для всех ${\displaystyle x\in E}$. Ядро симметричного гомоморфизма симметричной алгебры ${\displaystyle E}$ в симметричную алгебру ${\displaystyle F}$ есть симметричный двусторонний идеал; всякий симметричный односторонний идеал является двусторонним, и факторалгебра симметричной алгебры по симметричному идеалу естественно снабжается структурой симметричной алгебры. Радикал симметричной алгебры симметричен. Симметричная подалгебра ${\displaystyle F}$ в симметричной алгебре ${\displaystyle E}$ является симметричной алгеброй. Пусть ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ – прямая сумма симметричной алгебры ${\displaystyle E}$ и поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$, в которой линейные операции и инволюция определяются покомпонентно, а умножение определяется формулой

${\displaystyle \{x,\lambda \}\{y,\mu \}=\{xy+\lambda y+\mu x,\lambda \mu \}}$

для всех ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle x,y\in E}$; тогда ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ есть симметричная алгебра с единичным элементом.

Линейный функционал ${\displaystyle f}$ на симметричной алгебре называется эрмитовым, если ${\displaystyle f\left(x^{*}\right)={\overline {f(x)}}}$ для всех ${\displaystyle x\in E}$, и положительным, если ${\displaystyle f\left(x^{*},x\right)\geqslant 0}$ для всех ${\displaystyle x\in E}$. Множество ${\displaystyle E_{h}^{\prime }}$ эрмитовых линейных функционалов на ${\displaystyle E}$ есть действительное векторное подпространство пространства ${\displaystyle E^{\prime }}$, сопряжённого ${\displaystyle E}$, и ${\displaystyle E^{\prime }}$ есть прямая сумма подпространств ${\displaystyle E_{h}^{\prime }}$ и ${\displaystyle iE_{h}^{\prime }}$. Если ${\displaystyle E}$ содержит единицу 1, то всякий положительный функционал ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$ эрмитов и ${\displaystyle |f(x)|^{2}\leqslant f(1)f\left(x^{*}x\right)}$ для всех ${\displaystyle x\in E}$. Если ${\displaystyle f}$ – положительный функционал на симметричной алгебре ${\displaystyle E}$, то ${\displaystyle f\left(y^{*}x\right)=f\left(x^{*}y\right)}$ и ${\displaystyle \left|f\left(y^{*}x\right)\right|^{2}\leqslant f\left(y^{*}y\right)f\left(x^{*}x\right)}$ для всех ${\displaystyle x,y\in E}$.

Пусть симметричная алгебра ${\displaystyle E}$ снабжена нормой, превращающей ${\displaystyle E}$ в нормированную алгебру и удовлетворяющей условию ${\displaystyle \left\|x^{*}\right\|=\|x\|}$ для всех ${\displaystyle x\in E}$; тогда ${\displaystyle E}$ называется нормированной симметричной алгеброй. Если ${\displaystyle E}$ полна относительно рассматриваемой нормы, то ${\displaystyle E}$ называется банаховой симметричной алгеброй. Всякая нормированная симметричная алгебра ${\displaystyle E}$ может быть вложена в некоторую банахову симметричную алгебру ${\displaystyle {\bar {E}}}$, содержащую ${\displaystyle E}$ как плотную симметричную подалгебру; ${\displaystyle {\bar {E}}}$ определена однозначно с точностью до изометрического симметричного изоморфизма: ${\displaystyle {\bar {E}}}$ называется пополнением ${\displaystyle E}$. Если ${\displaystyle E}$ – банахова симметричная алгебра, причём ${\displaystyle E}$ имеет аппроксимативную единицу, то всякий положительный функционал ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$ непрерывен и допускает продолжение до положительного линейного функционала на ${\displaystyle {\widetilde {E}}}$. Если ${\displaystyle E}$ содержит единичный элемент 1 и ${\displaystyle \|1\|=1}$, то для любого положительного линейного функционала ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$ выполняются соотношения ${\displaystyle \|f\|=f(1)}$ и ${\displaystyle f\left(x^{*}x\right)\leqslant f(1)r\left(x^{*}x\right)}$, где ${\displaystyle r\left(x^{*}x\right)}$ – спектральный радиус элемента ${\displaystyle x^{*}r}$ (см. в статье Банахова алгебра).

Эрмитов элемент вполне симметричной алгебры имеет действительный спектр, для любого максимального замкнутого левого идеала ${\displaystyle I}$ во вполне симметричной алгебре ${\displaystyle E}$ с единичным элементом существует такой положительный линейный функционал ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$, что ${\displaystyle I=\left\{x\in E:f\left(x^{*}x\right)=0\right\}}$, и элемент ${\displaystyle x\in E}$ обратим слева в ${\displaystyle E}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f\left(x^{*}x\right)>0}$ для всех ненулевых положительных функционалов ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$. Радикал вполне симметричной алгебры ${\displaystyle E}$ совпадает с множеством таких элементов ${\displaystyle x\in E}$, что ${\displaystyle f\left(x^{*}x\right)=0}$ для всех положительных линейных функционалов ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$. Банахова симметричная алгебра ${\displaystyle E}$ с единичным элементом 1 тогда и только тогда вполне симметрична, когда ${\displaystyle r\left(x^{*}x\right)=\sup f\left(x^{*}x\right)}$, где верхняя грань берётся по множеству таких положительных линейных функционалов ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$, что ${\displaystyle f(1)=1}$.