Алгебра мер

А́лгебра мер, алгебра ${\displaystyle M(G)}$ комплексных регулярных борелевских мер на локально компактной абелевой группе ${\displaystyle G}$, имеющих ограниченную вариацию, с обычными линейными операциями и свёрткой в качестве умножения (см. Абстрактный гармонический анализ). Свёртка ${\displaystyle \lambda *\mu }$ мер ${\displaystyle \lambda ,\mu \in M(G)}$ полностью определяется из условия, что для любой непрерывной функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle G}$ с компактным носителем

${\displaystyle \int _{G}f\,d(\lambda *\mu )=\int _{G}\int _{G}f(x+y)\,d\lambda (x)\,d\mu (y)}$.

Eсли за норму в ${\displaystyle M(G)}$ принять полную вариацию меры, то ${\displaystyle M(G)}$ становится коммутативной банаховой алгеброй над полем комплексных чисел. Алгебра мер ${\displaystyle M(G)}$ обладает единицей, которой служит ${\displaystyle \sigma }$-мера, сосредоточенная в нуле группы. Совокупность дискретных мер, содержащихся в ${\displaystyle M(G)}$, образует замкнутую подалгебру.

Каждой функции ${\displaystyle f}$, принадлежащей групповой алгебре ${\displaystyle L^{1}(G)}$, может быть поставлена в соответствие мера ${\displaystyle \mu _{f}\in M(G)}$ по правилу

${\displaystyle \mu _{f}(E)=\int _{E}f\,dx}$

(интеграл по мере Хаaра). При этом возникает изометрическое изоморфное вложение ${\displaystyle L^{1}(G)\rightarrow M(G)}$. Образ при этом вложении является замкнутым идеалом в ${\displaystyle M(G)}$.

Преобразованием Фурье – Стилтьеса меры ${\displaystyle \mu \in M(G)}$ называется функция ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ на двойственной группе ${\displaystyle {\widehat {G}}}$, определяемая формулой:

${\displaystyle {\hat {\mu }}(\chi )=\int _{G}{\bar {\chi }}\,d\mu }$.

При этом ${\displaystyle \lambda *{\hat {\mu }}={\hat {\lambda }}\cdot {\hat {\mu }}}$ и ${\displaystyle \|\mu \|=0}$, если ${\displaystyle {\hat {\mu }}=0}$. В частности, ${\displaystyle M(G)}$ есть алгебра без радикала.

Если группа ${\displaystyle G}$ не дискретна, то алгебра мер ${\displaystyle M(G)}$ устроена весьма сложно: она не симметрична, и её пространство максимальных идеалов обладает рядом патологических свойств. Например, это пространство содержит бесконечномерные аналитические образования, а естественно вложенная в него группа ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ не плотна даже в границе Шилова. Вместе с тем известны идемпотентные меры, т. е. такие, что ${\displaystyle \mu *\mu =\mu }$. Каждая идемпотентная мера есть конечная целочисленная комбинация ${\displaystyle n_{1}\mu _{1}+\ldots +n_{k}\mu _{k}}$, где ${\displaystyle \mu _{i}=\chi _{i}\nu _{i}}$, причём ${\displaystyle \nu _{i}}$ – мера Хаара компактной подгруппы, а ${\displaystyle \chi _{i}}$ – характер. В случае ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ это приводит к тому, что последовательность ${\displaystyle \left(c_{m}\right)}$ из 0 и 1 тогда и только тогда есть преобразование Фурье – Стилтьеса некоторой меры на окружности, когда ${\displaystyle \left(c_{m}\right)}$ не более чем в конечном числе членов отличается от периодической последовательности.

В общем случае теорема об идемпотентных мерах допускает естественную интерпретацию в терминах нульмерных когомологий пространства максимальных идеалов. Удовлетворительное описание известно и для других групп когомологий пространства максимальных идеалов алгебры мер, что, в частности, позволяет судить о возможности логарифмировать обратимую меру из ${\displaystyle M(G)}$ (одномерные целочисленные когомологии).