Симметрический многочлен

Симметри́ческий многочле́н, многочлен ${\displaystyle f}$ с коэффициентами из некоторого поля или ассоциативно-коммутативного кольца ${\displaystyle K}$ с единицей, являющийся симметрической функцией от своих переменных, т. е. инвариантный при любых подстановках переменных:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\pi (x_{1}),\ldots ,\pi (x_{n}))}$ (*).

Симметрические многочлены образуют алгебру ${\displaystyle S(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ над ${\displaystyle K}$.

Важнейшие примеры симметрических многочленов – элементарные симметрические многочлены

${\displaystyle s_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{k}}}$

и степенные суммы, т. е. многочлены

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\ldots +x_{n}^{k}}$.

Для выражения степенных сумм ${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов имеются рекуррентные формулы, называемые формулами Ньютона:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}-p_{k-1}s_{1}+p_{k-2}s_{2}+\ldots \\\ldots +(-1)^{k-1}p_{1}s_{k-1}+(-1)^{k}ks_{k}=0\quad {\text{ при }}1\leqslant k\leqslant n;\\p_{k}-p_{k-1}s_{1}+p_{k-2}s_{2}+\ldots \\\ldots +(-1)^{n-1}p_{k-n+1}s_{n-1}+(-1)^{n}p_{k-n}s_{n}=0\quad {\text{ при }}k>n.\end{aligned}}}$

Элементарные симметрические многочлены от корней произвольного многочлена одной переменной со старшим коэффициентом ${\displaystyle 1}$ с точностью до знака совпадают с остальными коэффициентами этого многочлена (см. Теорема Виета).

Основная теорема о симметрических многочленах: каждый cимметрический многочлен является многочленом от элементарных cимметрических многочленов, причём представи́м в этом виде единственным образом. Другими словами, элементарные симметрические многочлены являются свободной системой образующих алгебры ${\displaystyle S(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Если поле имеет характеристику ${\displaystyle 0}$, то многочлены ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ также являются системой свободных образующих алгебры ${\displaystyle S(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

Кососимметрическим, или знакопеременным, многочленом называется многочлен ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, удовлетворяющий соотношению (*), если подстановка ${\displaystyle \pi }$ чётная, и соотношению

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=-f(\pi (x_{1}),\ldots ,\pi (x_{n}))}$,

если ${\displaystyle \pi }$ нечётная. Любой кососимметрический многочлен представим в виде ${\displaystyle \Delta _{n}g}$, где ${\displaystyle g}$ есть симметрический многочлен, а

${\displaystyle \Delta _{n}=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}$.

Это представление не однозначно, поскольку имеется соотношение ${\displaystyle \Delta _{n}^{2}=\mathrm {Dis} (s_{1},\ldots ,s_{n})}$.