Симметрическая функция

Симметри́ческая фу́нкция, функция, не изменяющаяся при любой перестановке своих аргументов. Симметрическими функциями являются, например, ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}$, ${\displaystyle \ x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}$,

${\displaystyle \sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}}$
${\displaystyle x_{i}x_{j},\quad }$
${\displaystyle \max(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$
${\displaystyle x_{1}+\ldots +x_{n}{\pmod {m}},}$
${\displaystyle }$

цифры в десятичной записи суммы произвольного количества одноразрядных чисел, «функция голосования», которая характеризуется тем, что её аргументы принимают лишь два значения: ${\displaystyle 1}$ («за») и ${\displaystyle 0}$ («против»), а сама функция равна ${\displaystyle 1}$, если больше половины её аргументов равны ${\displaystyle 1}$, и ${\displaystyle 0}$ в противном случае. Тривиальными примерами симметрических функций являются константы и функция одной переменной.

Любая симметрическая функция, отличная от константы, существенно зависит от всех своих переменных. Поэтому при добавлении несущественных переменных отличная от константы функция становится несимметрической, а при их изъятии может стать симметрической. Таким образом, понятие симметрической функции связано с точным указанием всех её переменных.

Простой критерий симметричности функции ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ состоит в одновременном выполнении двух равенств:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},x_{3},\ldots ,x_{n}),}$
${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})=f(x_{n},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1})}$
${\displaystyle }$

или ${\displaystyle n}$ равенств вида

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})=\ }$
${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{i+1},x_{i},\ldots ,x_{n})}$.

К симметрическим функциям относятся симметрические многочлены. Всякая рациональная симметрическая функция (над полем характеристики ${\displaystyle 0}$) является отношением двух симметрических многочленов. Любая булева симметрическая функция на наборах значений аргументов, содержащих одинаковое число единиц, принимает одинаковые значения. Эти функции играют важную роль в математической кибернетике и её приложениях, в частности они встречаются при схемной реализации арифметических и некоторых других операций.