Ряд Лорана

Ряд Лора́на, ряд вида

${\displaystyle a_{0}+a_{1}(z-a)+a_{2}(z-a)^{2}+{\frac {b_{1}}{z-a}}+{\frac {b_{2}}{(z-a)^{2}}}+\ldots ,}$ (*)

т. е. ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные степени разности ${\displaystyle z-a}$ (${\displaystyle z}$, ${\displaystyle a}$ и коэффициенты ряда – комплексные числа).

Совокупность членов с неотрицательными степенями (называемая правильной частью ряда Лорана) является обыкновенным степенным рядом, сходящимся, вообще говоря, внутри круга с центром ${\displaystyle a}$ и радиусом ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle 0\leqslant R\leqslant \infty }$, остальные члены образуют ряд (называемый главной частью ряда Лорана), сходящийся, вообще говоря, вне круга с тем же центром ${\displaystyle a}$ и радиусом ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle 0\leqslant r\leqslant \infty }$. Если ${\displaystyle r<R}$, то ряд Лорана сходится в круговом кольце ${\displaystyle r<\mid z-a\mid <R}$, его сумма является в этом кольце аналитической функцией ${\displaystyle f(z)}$ комплексного переменного ${\displaystyle z}$, при этом для коэффициентов ${\displaystyle a_{n}}$ имеют место равенства:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,dz,\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$,

где ${\displaystyle C}$ – произвольный замкнутый контур внутри кольца, ориентированный против часовой стрелки.

Ряды вида (*) встречаются у Л. Эйлера (1748), однако своё название они получили по имени французского математика П. Лорана, который в 1843 г. показал, что всякая функция комплексного переменного, однозначная и аналитическая в кольце ${\displaystyle r<\mid z-a\mid <R}$, может быть разложена в этом кольце в такой ряд (так называемая теорема Лорана); это же утверждение доказал ранее К. Вейерштрасс, но его работа была опубликована лишь в 1894 г.