Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но, формула для отыскания корней кубического уравнения над полем комплексных чисел

${\displaystyle x^{3}+px+q=0.}$ (1)

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение. Формула Кардано для уравнения (1) имеет вид:

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$.

Применяя эту формулу, нужно для каждого из трёх значений кубического корня

${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$

брать то значение корня

${\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},}$

для которого выполняется условие ${\displaystyle \alpha \beta =-p/3}$ (такое значение корня ${\displaystyle \beta }$ всегда существует). В формуле Кардано числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ – любые комплексные. В случае действительных коэффициентов ${\displaystyle {\mathcal {p}}}$ и ${\displaystyle q}$ свойство корней уравнения быть действительными или мнимыми зависит от знака дискриминанта уравнения (1)

${\displaystyle D=-27q^{2}-4p^{3}=108\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right)}$.

При ${\displaystyle D>0}$ все три корня уравнения действительны и различны; но по формуле Кардано корни выражаются через кубические радикалы с мнимыми подкоренными выражениями. Хотя в этом случае как коэффициенты, так и корни действительны, корни не могут быть выражены через коэффициенты при помощи радикалов из действительных чисел, ввиду чего данный случай получил название неприводимого. При ${\displaystyle D=0}$ все корни действительны, причём при ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$, отличных от нуля, имеется один двукратный и один однократный корень, а при ${\displaystyle p=q=0}$ – один трёхкратный корень. При ${\displaystyle D<0}$ все три корня различны, причём один корень является действительным, а два других – сопряжёнными мнимыми числами.

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545 г.