Распределение Вейбулла

Распределе́ние Ве́йбулла, специальный вид распределения вероятностей случайных величин ${\displaystyle X_{w}}$; характеризуется функцией распределения

${\displaystyle F_{w}(t,p,\sigma ,\mu )={\begin{cases}1-\exp \left\{-\left({\dfrac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{p}\right\}\ &{\text{при }}t>\mu ,\\0&{\text{при }}t\leqslant \mu ,\end{cases}}}$ (*)

где ${\displaystyle p}$ – параметр формы кривой распределения, ${\displaystyle \sigma }$ – параметр масштаба, ${\displaystyle \mu }$ – параметр сдвига. Семейство распределений (*) названо по имени В. Вейбулла (^[1]), впервые использовавшего его для аппроксимации экспериментальных данных о прочности стали на разрыв при усталостных испытаниях и предложившего методы оценки параметров распределения (*). Распределение Вейбулла принадлежит к асимптотическому распределению третьего типа крайних членов вариационного ряда. Оно широко используется для описания закономерностей отказов шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов электроники. Частными случаями распределения Вейбулла являются экспоненциальное (${\displaystyle p=1}$) и рэлеевское (${\displaystyle p=2}$) распределения. Кривые функции распределения (*) не принадлежат семейству распределений Пирсона. Имеются вспомогательные таблицы для вычислений функции распределения Вейбулла (см. Гнеденко. 1965). При ${\displaystyle \mu =0}$ квантиль уровня ${\displaystyle q}$ равна ${\displaystyle \sigma [-\ln(1-q)]^{1/p}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {E}}X_{w}^{k}=\sigma ^{k}\Gamma \left(1+{\frac {k}{p}}\right),\quad k=1,2,\ldots ,\\{\mathsf {D}}X_{w}=\sigma ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{p}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right],\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ – гамма-функция; коэффициент вариации, асимметрия и эксцесс не зависят от ${\displaystyle \sigma }$, что облегчает их табулирование и создание вспомогательных таблиц для получения оценок параметров. При ${\displaystyle p\geqslant 1}$ распределение Вейбулла унимодально, мода равна ${\displaystyle \sigma (p-1)^{1/p}}$, а функция опасности отказов ${\displaystyle \lambda (t)=pt^{p-1}/\sigma ^{p}}$ не убывает. При ${\displaystyle p<1}$ функция ${\displaystyle \lambda (t)}$ монотонно убывает. Можно построить т. н. вероятностную бумагу Вейбулла (см. Johnson. 1964). На ней ${\displaystyle F_{w}(t,p,\sigma ,0)}$ трансформируется в прямую, при ${\displaystyle \mu >0}$ образ ${\displaystyle F_{w}(t,p,\sigma ,\mu )}$ имеет вогнутость, а при ${\displaystyle \mu <0}$ – выпуклость. Оценки параметров распределения Вейбулла по методу квантилей приводят к уравнениям существенно более простым, чем по методу максимального правдоподобия. Совместная асимптотическая эффективность оценок параметров ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle \sigma }$ (при ${\displaystyle \mu =0}$) по методу квантилей максимальна (и равна ${\displaystyle 0{,}64}$) при использовании квантилей уровня ${\displaystyle 0{,}24}$ и ${\displaystyle 0{,}93}$. Функция распределения (*) хорошо аппроксимируется функцией распределения логнормального распределения

${\displaystyle \Phi \left({\frac {\ln(t-b)-a}{c}}\right)}$

(${\displaystyle \Phi (x)}$ – функция распределения нормированного нормального распределения, ${\displaystyle -\infty }$<b <="" \infty<="" math="">, ${\displaystyle -\infty <a<\infty }$, ${\displaystyle c>0}$):

<b <="" \infty<="" math="">

${\displaystyle {\begin{aligned}\inf _{p,\sigma ,a,c}\sup _{t}&amp;\left|F_{w}(t,p,\sigma ,0)-\Phi \left({\frac {\ln t-a}{c}}\right)\right|=\,=\inf _{a,c}\sup _{t}\left|F_{w}(t,1,1,0)-\Phi \left({\frac {\ln t-a}{c}}\right)\right|=0{,}038.\end{aligned}}}$