Про-p-группа

Про-'''p'''-гру́ппа, проконечная группа, являющаяся проективным пределом конечных ${\displaystyle p}$-групп. Например, аддитивная группа кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ целых ${\displaystyle p}$-адических чисел является про-${\displaystyle p}$-группой. В теории Галуа про-${\displaystyle p}$-группы появляются как группы Галуа ${\displaystyle p}$-расширений полей.

Пусть ${\displaystyle G}$ есть про-${\displaystyle p}$-группа. Её системой образующих называется подмножество ${\displaystyle E\subset G}$, обладающее свойствами: 1) ${\displaystyle G}$ совпадает с минимальной замкнутой подгруппой группы ${\displaystyle G}$, содержащей ${\displaystyle E}$; 2) в любой окрестности единицы группы ${\displaystyle G}$ содержатся почти все (т. е. все, кроме конечного числа) элементы из ${\displaystyle E}$.

Пусть ${\displaystyle I}$ – множество индексов и ${\displaystyle F_{I}}$ – абстрактная свободная группа с системой образующих ${\displaystyle \{a_{i}|i\in I\}}$. Проективный предел ${\displaystyle F(I)}$ системы групп ${\displaystyle F_{I}/N}$, где ${\displaystyle N}$ – такие нормальные делители группы ${\displaystyle F_{I}}$, что индекс подгруппы ${\displaystyle N}$ в ${\displaystyle F_{I}}$ является степенью числа ${\displaystyle p}$, а почти все элементы ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$, лежат в ${\displaystyle \mathrm {N} }$, является про-${\displaystyle {\text{р}}}$-группой, которая называется свободной про-${\displaystyle p}$-группой с системой образующих ${\displaystyle \{a_{i}|i\in I\}}$. Всякая замкнутая подгруппа свободной про-${\displaystyle p}$-группы сама является свободной про-${\displaystyle p}$-группой. Всякая про-${\displaystyle p}$-группа ${\displaystyle G}$ есть факторгруппа свободной про-${\displaystyle p}$-группы, т. е. существует точная последовательность гомоморфизмов про-${\displaystyle p}$-группы

${\displaystyle 1\to R\to F{\overset {\alpha }{\rightarrow }}G\to 1,}$

где ${\displaystyle F}$ – подходящая свободная про-${\displaystyle p}$-группа (эта последовательность называется представлением группы ${\displaystyle G}$ с помощью ${\displaystyle F}$). Подмножество ${\displaystyle E\subset R}$ называется системой соотношений группы ${\displaystyle G}$, если ${\displaystyle R}$ является наименьшим замкнутым нормальным делителем в ${\displaystyle R}$, содержащим ${\displaystyle E}$, и любой открытый нормальный делитель в ${\displaystyle R}$ содержит почти все элементы из ${\displaystyle E}$. Мощности минимального (относительно включения) множества образующих и минимальной системы соотношений соответствующего представления про-${\displaystyle p}$-группы ${\displaystyle G}$ допускают когомологическую интерпретацию: первая мощность совпадает с размерностью над ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ пространства ${\displaystyle H^{1}(G)=H^{1}(G,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$, а вторая – с размерностью над ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ пространства ${\displaystyle H^{2}(G)=H^{2}(G,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$. Здесь ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ рассматривается как дискретный ${\displaystyle G}$-модуль с тривиальным действием. Если ${\displaystyle G}$ – конечная ${\displaystyle p}$-группа, то

${\displaystyle 4\dim H^{2}(G)\geqslant (\dim H^{1}(G)-1)^{2}}$;

из этого результата выводится отрицательное решение классической проблемы башни полей классов (Голод. 1964^[1]).