P-группа

p'''-гру́ппа, группа, каждый неединичный элемент которой есть ${\displaystyle p}$-элемент, то есть элемент, удовлетворяющий уравнению ${\displaystyle x^{p^{n}}=1}$; здесь ${\displaystyle p}$ – фиксированное одно и то же для всех элементов группы простое число, а ${\displaystyle n}$ – натуральное число, вообще говоря, своё для каждого элемента группы. В том же смысле вместо буквы ${\displaystyle p}$ употребляют другие буквы, например ${\displaystyle q,r,s}$, но в таком случае их употребление особо оговаривают. Если ${\displaystyle p}$ – конкретное простое число, например ${\displaystyle 2,3,5,\ldots }$, то говорят о ${\displaystyle 2}$-группах, ${\displaystyle 3}$-группах и так далее. Иногда ${\displaystyle p}$-группы называются примарными группами. Обобщением ${\displaystyle p}$-групп является ${\displaystyle \pi }$-группа (${\displaystyle \pi }$ – заданное множество простых чисел), определяемая как группа, каждый неединичный элемент которой есть ${\displaystyle \pi }$-элемент, то есть элемент, удовлетворяющий условию ${\displaystyle x^{m}=1}$, где ${\displaystyle m}$ – натуральное число, все простые делители которого принадлежат ${\displaystyle \pi }$. Реже в том же смысле пишут ${\displaystyle \Pi }$-группа, ${\displaystyle \sigma }$-группа, ${\displaystyle \tau }$-группа. Если ${\displaystyle N}$ – множество всех простых чисел, то часто обозначают ${\displaystyle p^{\prime }=N\setminus p}$, ${\displaystyle \pi ^{\prime }=N\setminus \pi }$ и говорят о ${\displaystyle p^{\prime }}$- и ${\displaystyle \pi ^{\prime }}$-группах, о ${\displaystyle p^{\prime }}$- и ${\displaystyle \pi ^{\prime }}$-элементах. Подгруппа данной группы, являющаяся ${\displaystyle p}$-группой (${\displaystyle \pi }$-группой), называется ${\displaystyle p}$-подгруппой (${\displaystyle \pi }$-подгруппой).

Значительная часть работ в теории конечных групп связана с задачей описания произвольных конечных групп через конечные ${\displaystyle p}$-группы и простых конечных групп через ${\displaystyle 2}$-группы (см. Huppert. 1983^[1], гл. ${\displaystyle \mathrm {IV} }$ и ${\displaystyle \mathrm {VI} }$ и Gorenstein. 1968^[2]). Поэтому наиболее интенсивно развиваются направления, связанные с описанием конечных ${\displaystyle p}$-групп по их абелевым подгруппам, либо с их описанием посредством ${\displaystyle p}$-автоморфизмов.

Бесконечные (неабелевы) ${\displaystyle p}$-группы менее изучены. Ниже приводится небольшое число наиболее важных результатов, грубо разделённых на три части.

1. О результатах, относящихся к решению проблем Бёрнсайда.
2. Локально конечная ${\displaystyle p}$-группа непроста (см. Шмидт. 1959.^[3] С. 290).
3. Примеры, показывающие отличие теории конечных ${\displaystyle p}$-групп от общей теории ${\displaystyle p}$-групп. а) Существует локально конечная ${\displaystyle p}$-группа, которая не имеет неединичных абелевых нормальных подгрупп (см. Шмидт. 1959. С. 294). б) Существует локально конечная ${\displaystyle p}$-группа, совпадающая со своим коммутантом (см. Шмидт. 1959. С. 296).

См. также Группа с условием конечности.