Процесс Грама – Шмидта

Проце́сс Гра́ма – Шми́дта (ортогонализация, процесс ортогонализации, процесс ортогонализации Шмидта, процесс ортогонализации Грама – Шмидта), алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов вещественного или комплексного гильбертова пространства ${\displaystyle V}$ ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в ${\displaystyle V}$, при котором по линейно независимой системе ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ строится ортогональная система ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}$ такая, что каждый вектор ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,\ldots ,k)}$ линейно выражается через ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{i}}$, т. е. ${\displaystyle b_{i}=\sum _{j=1}^{i}\gamma _{ij}a_{j}}$, где ${\displaystyle C=\left\|\gamma _{ij}\right\|}$ – верхняя треугольная матрица. При этом требуется, чтобы система ${\displaystyle \left\{b_{i}\right\}}$ была ортонормированной и чтобы диагональные элементы ${\displaystyle \gamma _{ii}}$ матрицы ${\displaystyle C}$ были положительны; этими условиями система ${\displaystyle \left\{b_{i}\right\}}$ и матрица ${\displaystyle C}$ определяются однозначно.

Процесс Грама – Шмидта состоит в следующем. Полагают ${\displaystyle b_{1}=a_{1}}$; если уже построены векторы ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{i}}$, тo

${\displaystyle b_{i+1}=a_{i+1}+\sum _{j=1}^{i}\alpha _{i}b_{j}}$,

где

${\displaystyle \alpha _{j}=-{\frac {\left(a_{i+1},b_{j}\right)}{\left(b_{j},b_{j}\right)}}}$,

${\displaystyle j=1,\ldots ,i}$, найдены из условия ортогональности вектора ${\displaystyle b_{i+1}}$ к ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{i}}$. Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор ${\displaystyle b_{i+1}}$ является перпендикуляром, восставленным к линейной оболочке векторов ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{i}}$ в линейной оболочке векторов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{i},a_{i+1}}$. Произведение длин ${\displaystyle \left|b_{1}\right|\ldots \left|b_{k}\right|}$ равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах системы ${\displaystyle \left\{a_{i}\right\}}$ как на рёбрах. Нормируя полученные векторы ${\displaystyle b_{i}}$, получают искомую ортонормированную систему. Явное выражение векторов ${\displaystyle b_{i}}$ через ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ даёт формула

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{i}=\left|{\begin{array}{cccc}\left(a_{1},a_{1}\right)&\ldots &\left(a_{1},a_{i-1}\right)&a_{1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\left(a_{i},a_{1}\right)&\cdots &\left(a_{i},a_{i-1}\right)&a_{i}\end{array}}\right|\end{aligned}}}$

(определитель в правой части следует формально разложить по последнему столбцу). Соответствующая ортонормированная система имеет вид

${\displaystyle q_{i}={\frac {b_{i}}{\sqrt {\Gamma _{i-1}{\bar {\Gamma }}_{i}}}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ – определитель Грама системы ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{j}}$.

Этот процесс примени́м также и к счётной системе векторов.

Процесс Грама – Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной матрицы (или унитарной матрицы в случае комплексного гильбертова пространства) и верхней треугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай разложения Ивасавы.