Простой элемент

Просто́й элеме́нт, обобщение понятия простого числа. Пусть ${\displaystyle G}$ – область целостности или коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокращения. Ненулевой элемент ${\displaystyle p\in G}$, не являющийся делителем единицы, называется простым, если произведение ${\displaystyle ab}$ может делиться на ${\displaystyle p}$ лишь в том случае, когда хотя бы один из элементов ${\displaystyle a}$ или ${\displaystyle b}$ делится на ${\displaystyle p}$. Всякий простой элемент является неприводимым, т. е. делится только на делители единицы и ассоциированные с ним элементы. Неприводимый элемент не обязан быть простым, однако в гауссовой полугруппе эти два понятия совпадают. Более того, если всякий неприводимый элемент из ${\displaystyle G}$ является простым, то полугруппа ${\displaystyle G}$ гауссова. Аналогичные утверждения имеют место для факториальных колец. Элемент кольца является простым тогда и только тогда, когда главный идеал, порождённый этим элементом, – простой идеал.

Существуют обобщения этих понятий на некоммутативный случай (Курош. 2005^[1]).