Признак сравнения

При́знак сравне́ния, признак сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Его наиболее простая форма состоит в следующем. Пусть даны два числовых ряда с неотрицательными членами:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots \quad (a_{n}\geqslant 0\ {\text{ для }}\ n=1,2,\ldots )}$ (A)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots \quad (b_{n}\geqslant 0\ {\text{ для }}\ n=1,2,\ldots )}$ (B)

Если существует номер ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ такой, что при любом ${\displaystyle n>N}$ имеет место неравенство ${\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}}$, то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Близкими признаку сравнения являются следующие три вытекающие из него утверждения; они иногда также называются признаками сравнения.

1. Если существуют два положительных числа ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle C}$ и номер ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ такие, что для всех ${\displaystyle n>N}$ имеет место равенство

${\displaystyle cb_{n}\leqslant a_{n}\leqslant Cb_{n}}$,

то оба ряда (A) и (B) сходятся или расходятся одновременно.

2. Если все члены ряда (B) отличны от нуля и существует предел

${\displaystyle \lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=K\quad (0\leqslant K\leqslant +\infty )}$,

то из сходимости ряда (B), при ${\displaystyle K<+\infty }$, следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (B), при ${\displaystyle K>0}$, следует расходимость ряда (A). Таким образом, при ${\displaystyle 0<k<+\infty }$ оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

3. Если все члены рядов (A) и (B) отличны от нуля и существует номер ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ такой, что при любом ${\displaystyle n>N}$ имеет место неравенство

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$,

то из сходимости ряда (B) следует сходимость ряда (A) или – что равносильно – из расходимости ряда (A) следует расходимость ряда (B).

Признак сравнения является фундаментальным признаком сходимости рядов с неотрицательными членами; из него, в частности, выводятся признак Коши, признак Дирихле, признак Раабе.