Признак Коши

При́знак Коши́ (радикальный признак Коши), признак сходимости числового ряда: если для числового ряда ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ с неотрицательными членами существует такое число ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle 0<q<1}$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{u_{n}}}\leqslant q}$, равносильное условию ${\displaystyle \mathop {\overline {\mathrm {lim} }} \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}<1}$, то данный ряд сходится. Если же, начиная с некоторого номера, имеет место неравенство ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{u_{n}}}>1}$ или даже менее того, существует подпоследовательность ${\displaystyle u_{n_{k}}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, для членов которой имеет место неравенство ${\displaystyle {\sqrt[{\scriptscriptstyle n_{k}}]{u_{n_{k}}}}>1}$, то ряд расходится.

В частности, если существует ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}<1}$, то ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ сходится, если существует ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}>1}$, то ряд расходится. Признак установлен О. Л. Коши (Cauchy, 1821). Для рядов ${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ с членами ${\displaystyle u_{n}}$ произвольных знаков из условия ${\displaystyle \mathop {\overline {\mathrm {lim} }} \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\mid u_{n}\mid }}>1}$ следует расходимость ряда; из условия ${\displaystyle \mathop {\overline {\mathrm {lim} }} \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\mid u_{n}\mid }}<1}$ – абсолютная сходимость ряда.