Признак Вейерштрасса

При́знак Вейерштра́сса равномерной сходимости, утверждение, дающее достаточные условия равномерной сходимости ряда или последовательности функций посредством сравнения их с соответствующими числовыми рядами и последовательностями; установлен К. Вейерштрассом (Weierstrass. 1886^[1]). Если для ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x),}$

составленного из действительных или комплексных функций, определенных на некотором множестве ${\displaystyle E}$, существует числовой сходящийся ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)}$

такой, что

${\displaystyle |u_{n}(x)|\leqslant a_{n},\quad n=1,2,\ldots ,}$

то исходный ряд сходится равномерно и абсолютно на множестве ${\displaystyle E}$. Например, ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin nx}{n^{2}}}}$

абсолютно сходится на всей действительной оси, поскольку

${\displaystyle \left|{\frac {\sin nx}{n^{2}}}\right|\leqslant {\frac {1}{n^{2}}}}$

и ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

сходится.

Если для последовательности действительных или комплексных функций ${\displaystyle f_{n}(x),n=1,2,\ldots }$, сходящейся на множестве ${\displaystyle E}$ к функции ${\displaystyle f(x)}$, существует бесконечно малая числовая последовательность ${\displaystyle \alpha _{n}}$ такая, что ${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|\leqslant \alpha _{n}}$, ${\displaystyle x\in E}$, ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$, то данная последовательность сходится на множестве ${\displaystyle E}$ равномерно. Например, последовательность

${\displaystyle f_{n}(x)=1-{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}+n}}}$

равномерно на всей действительной оси сходится к функции ${\displaystyle f(x)=1}$, т. к.

${\displaystyle \left|1-f_{n}(x)\right|<{\frac {1}{n}}\quad {\text{и }}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}$.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости переносится на функции, значения которых лежат в нормированных линейных пространствах.