Уравнение Похгаммера

Уравне́ние Похга́ммера, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle n}$-го порядка вида

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(z)w^{(n)}&-\mu Q^{\prime }(z)w^{(n-1)}+(-1)^{n}{\frac {\mu (\mu +1)\ldots (\mu +n-1)}{n!}}Q^{(n)}(z)w-{}\\&{}-\left[R(z)w^{(n-1)}-(\mu +1)R^{\prime }(z)w^{(n-2)}\right.\\&+\left.(-1)^{n-1}{\frac {(\mu +1)\ldots (\mu +n-1)}{(n-1)!}}R^{(n-1)}(z)w\right]=0,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \mu }$ – комплексная постоянная, ${\displaystyle Q(z)}$, ${\displaystyle R(z)}$ – многочлены степени ${\displaystyle \leqslant n}$ и ${\displaystyle \leqslant n-1}$ соответственно. Уравнение Похгаммера было исследовано Л. Похгаммером (Росhhammer. 1890) и К. Жорданом (^[1]).

Уравнение Похгаммера проинтегрировано с помощью преобразования Эйлера, и его частные решения имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}w(z)=\int _{\gamma }(t-z)^{\mu +n-1}u(t)\,dt,\\u(t)={\frac {1}{Q(t)}}\exp \left[\int ^{t}{\frac {R(\tau )}{Q(\tau )}}\,d\tau \right],\end{aligned}}}$ (*)

где ${\displaystyle \gamma }$ – некоторый контур в комплексной плоскости ${\displaystyle t}$. Пусть все корни ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}}$ многочлена ${\displaystyle Q(z)}$ простые и вычеты функции ${\displaystyle R(z)/Q(z)}$ в этих точках – нецелые числа. Пусть ${\displaystyle a}$ – фиксированная точка такая, что ${\displaystyle Q(a)\neq 0}$, и пусть ${\displaystyle \gamma _{j}}$ – простая замкнутая кривая с началом и концом в точке a, положительно ориентированная, которая содержит внутри себя только корень ${\displaystyle a_{j}}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,m}$. Формула (*) даёт решение уравнения Похгаммера, если

${\displaystyle \gamma =\gamma _{j}\gamma _{k}\gamma _{j}^{-1}\gamma _{k}^{-1},\quad j\neq k;\quad j,k=1,\ldots ,m}$;

из этих решений ровно ${\displaystyle m}$ линейно независимы. Для построения остальных решений используются другие контуры, в том числе незамкнутые (^[2]; ^[3]). Вычислена группа монодромии уравнения Похгаммера (Айнс. 1939).

Частными случаями уравнения Похгаммера являются уравнение Тиссо (Камке. 1976), т. е. уравнение Похгаммера, в котором

${\displaystyle Q(z)=\prod _{i=1}^{n-1}\left(z-a_{j}\right),\quad R(z)=Q(z)\left(1+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {b_{j}}{z-a_{j}}}\right)}$,

и уравнение Папперица.