Представление симметрической группы

Представле́ние симметри́ческой гру́ппы, линейное представление группы ${\displaystyle S_{m}}$ над каким-либо полем ${\displaystyle K}$. Если ${\displaystyle {\text{char }}K=0}$, то все конечномерные представления симметрической группы вполне приводимы и определены над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (иначе говоря, все неприводимые конечномерные представления над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ абсолютно неприводимы).

Неприводимые конечномерные представления группы ${\displaystyle S_{m}}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ классифицируются следующим образом. Пусть ${\displaystyle d}$ – какая-либо диаграмма Юнга, отвечающая разбиению ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})}$ числа ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle R_{d}}$ (соответственно ${\displaystyle C_{d}}$) – подгруппа группы ${\displaystyle S_{m}}$, состоящая из всех подстановок, переводящих каждое из чисел ${\displaystyle 1,2,\ldots ,m}$ в число, находящееся в той же строке (соответственно столбце) диаграммы ${\displaystyle d}$. Тогда

${\displaystyle R_{d}\simeq S_{\lambda _{1}}\times \ldots \times S_{\lambda _{r}}}$

и

${\displaystyle C_{d}\simeq S_{\lambda _{1}^{\prime }}\times \ldots \times S_{\lambda _{S}^{\prime }}}$,

где ${\displaystyle \lambda ^{\prime }=(\lambda _{1}^{\prime },\ldots ,\lambda _{S}^{\prime })}$ – разбиение числа ${\displaystyle m}$, сопряжённое к разбиению ${\displaystyle \lambda }$. Существует единственное неприводимое представление ${\displaystyle T_{\lambda }:S_{m}\to GL(U_{\lambda })}$ группы ${\displaystyle S_{m}}$ (зависящее только от ${\displaystyle \lambda }$) со следующими свойствами: 1) в пространстве ${\displaystyle U_{\lambda }}$ имеется такой ненулевой вектор ${\displaystyle u_{d}}$, что ${\displaystyle T_{\lambda }(g)u_{d}=u_{d}}$ для любого ${\displaystyle g\in R_{d}}$; 2) в пространстве ${\displaystyle U_{\lambda }}$ имеется такой ненулевой вектор ${\displaystyle u_{d}^{\prime }}$, что ${\displaystyle T_{\lambda }(g)u_{d}^{\prime }=\varepsilon (g)u_{d}^{\prime }}$ для любого ${\displaystyle g\in C_{d}}$, где ${\displaystyle \varepsilon (g)=\pm 1}$ – чётность подстановки ${\displaystyle g}$. Представления, отвечающие различным разбиениям, не эквивалентны, и ими исчерпываются все неприводимые представления группы ${\displaystyle S_{m}}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Векторы ${\displaystyle u_{d}}$ и ${\displaystyle u_{d}^{\prime }}$ определены однозначно с точностью до умножения на число. Для всех диаграмм, отвечающих разбиению ${\displaystyle \lambda }$, эти векторы нормируются таким образом, что ${\displaystyle gu_{d}=u_{gd}}$ и ${\displaystyle gu_{d}^{\prime }=u_{gd}^{\prime }}$ для любого ${\displaystyle g\in S_{m}}$, где ${\displaystyle gd}$ обозначает диаграмму, получаемую из ${\displaystyle d}$ применением ко всем числам подстановки ${\displaystyle g}$. Векторы ${\displaystyle u_{d}}$ (соответственно ${\displaystyle u_{d}^{\prime }}$), соответствующие стандартным диаграммам ${\displaystyle d}$, образуют базис пространства ${\displaystyle U_{\lambda }}$; в этом базисе операторы представления записываются целочисленными матрицами. Размерность представления ${\displaystyle T_{\lambda }}$ равна

${\displaystyle \dim T_{\lambda }={\frac {m!\prod _{i<j}(l_{i}-l_{j})}{\prod _{i}l_{i}!}}={\frac {m^{\prime }}{\prod _{(i,j)}\lambda _{ij}}}}$,

где ${\displaystyle l_{i}=\lambda _{i}+r-i}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$), а произведение в знаменателе второго выражения берётся по всем клеткам ${\displaystyle c_{ij}}$ таблицы Юнга ${\displaystyle t_{\lambda }}$, причём ${\displaystyle \lambda _{ij}}$ обозначает длину соответствующего крюка.

Разбиению ${\displaystyle (m)}$ отвечает тривиальное одномерное представление группы ${\displaystyle S_{m}}$, а разбиению ${\displaystyle (1,\ldots ,1)}$ – нетривиальное одномерное представление ${\displaystyle \varepsilon }$ (чётность). Разбиению ${\displaystyle \lambda ^{\prime }}$, сопряжённому к ${\displaystyle \lambda }$, отвечает представление ${\displaystyle \varepsilon T_{\lambda }}$. Пространство ${\displaystyle U_{\lambda ^{\prime }}}$, каноническим образом (с точностью до гомотетии) отождествляется с пространством ${\displaystyle U_{\lambda }}$ так, что ${\displaystyle T_{\lambda ^{\prime }}(g)=\varepsilon (g)T_{\lambda }(g)}$ для любого ${\displaystyle g\in S_{m}}$; при этом можно считать, что ${\displaystyle u_{d}^{\prime }=u_{d^{\prime }}}$, где ${\displaystyle d^{\prime }}$ – диаграмма, получаемая из ${\displaystyle d}$ транспонированием.

Построение полной системы неприводимых представлений симметрических групп производится с помощью симметризаторов Юнга, позволяющих получить разложение регулярного представления. Если ${\displaystyle d}$ – диаграмма Юнга, отвечающая разбиению ${\displaystyle \lambda }$, то представление ${\displaystyle T_{\lambda }}$ эквивалентно представлению симметрической группы ${\displaystyle S_{m}}$ в левом идеале групповой алгебры ${\displaystyle \mathbb {Q} S_{m}}$, порождённом симметризатором Юнга ${\displaystyle e_{d}}$. Апостериорное описание элемента ${\displaystyle e_{d}}$ состоит в следующем: ${\displaystyle T_{\mu }(e_{d})=0}$ при ${\displaystyle \mu \neq \lambda }$, а ${\displaystyle T_{\lambda }(e_{d})}$ – оператор ранга ${\displaystyle 1}$, действующий по формуле ${\displaystyle T_{\lambda }(e_{d})u=(u_{d},u)u_{d}^{\prime }}$ для любого ${\displaystyle u\in U_{\lambda }}$, где ${\displaystyle (\quad ,\quad )}$ – подходящим образом нормированное инвариантное скалярное умножение в пространстве ${\displaystyle U_{\lambda }}$. При этом

${\displaystyle (u_{d},u_{d}^{\prime })={\frac {m!}{\dim U_{\lambda }}}}$.

Производящая функция для характеров представлений ${\displaystyle T_{\lambda }}$ даётся формулой Фробениуса. Однако для вычисления отдельных значений характеров удобнее пользоваться рекуррентными соотношениями. Наиболее эффективным из них является правило Мурнагана – Накаямы: пусть ${\displaystyle a_{\lambda \mu }=a_{\lambda \mu }^{(m)}}$ – значение характера представления ${\displaystyle T_{\lambda }}$ на классе ${\displaystyle [\mu ]}$ сопряжённых элементов группы ${\displaystyle S_{m}}$, определённом разбиением ${\displaystyle \mu }$ числа ${\displaystyle m}$, и пусть разбиение ${\displaystyle \mu }$ содержит число ${\displaystyle p}$. Через ${\displaystyle {\bar {\mu }}}$ обозначается разбиение числа ${\displaystyle m-p}$, получаемое из ${\displaystyle \mu }$ выбрасыванием числа ${\displaystyle p}$. Тогда

${\displaystyle a_{\lambda \mu }^{(m)}=\sum _{\bar {\lambda }}(-1)^{i({\bar {\lambda }})}a_{{\bar {\lambda }}{\bar {\mu }}}^{(m-p)}}$,

где сумма берётся по всем разбиениям ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ числа ${\displaystyle m-p}$, получаемым удалением косого крюка длины ${\displaystyle p}$ из таблицы Юнга ${\displaystyle t_{\lambda }}$, а ${\displaystyle i({\bar {\lambda }})}$ обозначает высоту удалённого косого крюка.

Имеется также метод (см. Джеймс. 1982), позволяющий найти целиком таблицу характеров группы ${\displaystyle S_{m}}$, т. е. матрицу ${\displaystyle A=\|a_{\lambda \mu }\|}$. Пусть ${\displaystyle M_{\lambda }}$ есть представление симметрической группы ${\displaystyle S_{m}}$, индуцированное тривиальным одномерным представлением подгруппы ${\displaystyle R_{\lambda }=R_{d}}$, где ${\displaystyle d}$ – диаграмма Юнга, отвечающая разбиению ${\displaystyle \lambda }$. И пусть ${\displaystyle M_{\lambda }=\sum _{\mu }m_{\lambda \mu }T_{\mu }}$, a ${\displaystyle M=\|m_{\lambda \mu }\|}$. Если считать, что строки и столбцы матрицы расположены в порядке лексикографического убывания индексов (разбиений), то это будет нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали. Значение характера представления ${\displaystyle M_{\lambda }}$ на классе ${\displaystyle [\mu ]}$ равно

${\displaystyle b_{\lambda \mu }={\frac {c_{\mu }|R_{\lambda }\cap [\mu ]|}{|R_{\lambda }|}}}$,

где ${\displaystyle c_{\mu }}$ – порядок централизатора подстановки из класса ${\displaystyle [\mu ]}$. Матрица ${\displaystyle B=\|b_{\lambda \mu }\|}$ является верхней треугольной, и имеет место соотношение ${\displaystyle MM^{T}=BC^{-1}B^{T}}$, где ${\displaystyle C={\text{diag }}(c_{\mu })}$, из которого однозначно определяется матрица ${\displaystyle M}$. После этого матрица ${\displaystyle A}$ находится по формуле

${\displaystyle A=M^{-1}B}$.

Ограничение представления ${\displaystyle T_{\lambda }}$ группы ${\displaystyle S_{m}}$ на подгруппу ${\displaystyle S_{m-1}}$ находится по правилу ветвления:

${\displaystyle T_{\lambda }\mid S_{m-1}=\sum _{i}T_{(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{i}-1,\ldots ,\lambda _{r})}}$,

где суммирование распространяется на те ${\displaystyle i}$, для которых ${\displaystyle \lambda _{i}>\lambda _{i+1}}$ (включая ${\displaystyle r}$). Ограничение представления ${\displaystyle T_{\lambda }}$ на подгруппу ${\displaystyle A_{m}}$ при ${\displaystyle \lambda \neq \lambda ^{\prime }}$ абсолютно неприводимо, а при ${\displaystyle \lambda =\lambda ^{\prime }}$ распадается над квадратичным расширением поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности. Получаемые таким образом представления группы ${\displaystyle A_{m}}$ исчерпывают все её неприводимые представления над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

О представлении симметрических групп в тензорах см. в ст. Представления классических групп.

Разработана также теория модулярных представлений симметрических групп (см., например, Джеймс. 1982).