Представление Бохнера – Мартинелли

Представле́ние Бо́хнера – Мартине́лли (формула Бохнера – Мартинелли), интегральное представление голоморфных функций, определяемое следующим образом (^[1]; ^[2]). Пусть функция ${\displaystyle f}$ голоморфна в области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ c кусочно гладкой границей ${\displaystyle \partial D}$ и непрерывна в её замыкании ${\displaystyle {\bar {D}}}$. Тогда выражение

${\displaystyle {\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )}{|\zeta -z|^{2n}}}\times \sum _{j=1}^{n}\left({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z_{j}}}\right)d{\overline {\zeta _{1}}}\wedge d\zeta _{1}\wedge \ldots \wedge \left[d{\overline {\zeta _{j}}}\right]\wedge d\zeta _{j}\wedge \ldots \wedge d{\overline {\zeta _{n}}}\wedge d\zeta _{n}=}$
${\displaystyle >=\left\{{\begin{matrix}f(z),{\text{ если }}z\in D,\\0,{\text{ если }}z\notin {\bar {D}}.\end{matrix}}\right.}$ (*)

где ${\displaystyle \left[d{\bar {\zeta }}_{j}\right]}$ означает, что член ${\displaystyle d{\bar {\zeta }}_{j}}$ следует опустить, называется представление Бохнера – Мартинелли. При ${\displaystyle n=1}$ представление Бохнера – Мартинелли совпадает с интегральной формулой Коши (см. в статье Интеграл Коши), однако при ${\displaystyle n>1}$ его ядро не является голоморфным по ${\displaystyle z}$, и этим объясняется ограниченность применения представления Бохнера – Мартинелли в теории функций многих комплексных переменных. Ядром представления Бохнера – Мартинелли является дифференциальная форма по ${\displaystyle \zeta }$ бистепени ${\displaystyle (n,n-1)}$:

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{\mid \zeta -z\mid ^{2n}}}\times \sum _{j=1}^{n}\left({\bar {\zeta }}_{j}-{\bar {z}}_{j}\right)d{\bar {\zeta }}_{1}\wedge d\zeta _{1}\wedge \ldots \left[d{\bar {\zeta }}_{j}\right]\wedge d\zeta _{j}\wedge \ldots \wedge d{\bar {\zeta }}_{n}\wedge d\zeta _{n},}$

определённая в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, с особенностью в точке ${\displaystyle \zeta =z}$, ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ – замкнутая (т. е. ${\displaystyle \partial \omega =0}$) вне особенности. При ${\displaystyle n>1}$ форма ${\displaystyle \omega }$ равна ${\displaystyle \partial \omega ^{\prime }(\zeta ,z)}$, где

${\displaystyle \omega ^{\prime }(\zeta ,z)=-{\frac {(n-2)!}{(2\pi i)^{n}}}\cdot {\frac {1}{\mid \zeta -z\mid ^{2n-2}}}\sum _{j=1}^{n}\left(\Pi _{k\neq j}d{\overline {\zeta _{k}}}\wedge d\zeta _{k}\right)}$

– форма бистепени ${\displaystyle (n-1,n-1)}$, коэффициент которой является фундаментальным решением уравнения Лапласа; здесь

${\displaystyle \partial \varphi =\sum dz_{k}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{k}}}{\text{ и }}{\bar {\partial }}\varphi =\sum d{\bar {z}}_{k}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}_{k}}}}$.

Следующее интегральное представление, обобщающее формулу (*), является аналогом формулы Коши – Грина: если функция ${\displaystyle f}$ непрерывно дифференцируема в замыкании области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ c кусочно гладкой границей ${\displaystyle \partial D}$, то для всякой точки ${\displaystyle z\in D}$

${\displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial f}}(\zeta )\wedge \omega (\zeta ,z)}$.

Функция

${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\int _{\Gamma }f(\zeta )\omega (\zeta ,z)}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ – гладкая гиперповерхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\mathbb {C} ^{n}}$ и ${\displaystyle f}$ – функция на ${\displaystyle \Gamma }$, интегрируемая по мере Лебега, называется интегралом типа Бохнера – Mapтинелли. Как и для интегралов типа Коши, для интегралов типа Бохнера – Мартинелли справедлива формула Сохоцкого при обычных ограничениях на ${\displaystyle \Gamma }$ и ${\displaystyle f}$. Интеграл типа Бохнера – Мартинелли является комплексной функцией, гармонической всюду вне ${\displaystyle \Gamma }$; в общем случае эта функция голоморфна лишь при ${\displaystyle n=1}$. Если ${\displaystyle \Gamma =\partial D}$, то при ${\displaystyle n\geqslant 1}$ условие ${\displaystyle {\hat {f}}(z)\equiv 0}$ вне ${\displaystyle {\bar {D}}}$ эквивалентно голоморфности ${\displaystyle {\hat {f}}}$ в ${\displaystyle D}$.

Представление Бохнера – Мартинелли используется для вывода других интегральных представлений (например, представления Бергмана – Вейля), для голоморфного продолжения с границы, а также в теории граничных значений голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Представление Бохнера – Мартинелли получено С. Бохнером и Э. Мартинелли (Bochner. 1943; Martinelli. 1938).