Предмера

Предме́ра, конечно аддитивная мера с действительными или комплексными значениями на некотором пространстве ${\displaystyle \Omega }$, обладающая свойством: она определена на алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, которая имеет вид ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\bigcup _{\alpha \in A}{\mathfrak {B}}_{\alpha }}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\alpha }}$ – семейство ${\displaystyle \sigma }$-алгебр пространства ${\displaystyle \Omega }$, помеченных элементами некоторого частичного упорядоченного множества ${\displaystyle A}$ так, что ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\alpha _{1}}\subset {\mathfrak {B}}_{\alpha _{2}}}$ при ${\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}}$, и сужение этой меры на любую ${\displaystyle \sigma }$-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\alpha }}$ счётно аддитивно. Например, если ${\displaystyle \Omega }$ – хаусдорфово топологическое пространство, ${\displaystyle A}$ – совокупность всех компактов, упорядоченных по вложению, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha \in A}$, есть ${\displaystyle \sigma }$-алгебра борелевских подмножеств компакта ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$ – пространство всех непрерывных функций на ${\displaystyle \Omega }$ с компактными носителями, то всякий линейный функционал на ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$, непрерывный относительно топологии равномерной сходимости в ${\displaystyle C_{0}(\Omega )}$, порождает предмеру на алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\bigcup _{\alpha \in A}{\mathfrak {B}}_{\alpha }}$.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ – линейное локально выпуклое пространство, ${\displaystyle A}$ – совокупность конечномерных подпространств сопряжённого пространства ${\displaystyle \Omega '}$, упорядоченных по вложению, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha \in A}$, – наименьшая ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, относительно которой измерим любой линейный функционал ${\displaystyle \varphi \in \alpha }$. Множества из алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\bigcup _{\alpha \in A}{\mathfrak {B}}_{\alpha }}$ называются цилиндрическими множествами, а любая предмера на ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ – цилиндрической мерой (или квазимерой). Любой положительно определённый функционал на пространстве ${\displaystyle \Omega '}$, непрерывный на любом конечномерном подпространстве ${\displaystyle \alpha \subset \Omega }$, является характеристическим функционалом (преобразованием Фурье) некоторой конечной неотрицательной предмеры на ${\displaystyle \Omega }$.