Превосходное кольцо

Превосхо́дное кольцо́, коммутативное нётерово кольцо, удовлетворяющее трём приводимым ниже аксиомам. Известно, что геометрические кольца обладают рядом качественных свойств, не присущих произвольным нётеровым кольцам. Понятие превосходного кольца позволяет в аксиоматической форме учесть важнейшие из этих свойств.

Аксиомы превосходного кольца ${\displaystyle A}$.

A1. Кольцо ${\displaystyle A}$ универсально цепное. (Кольцо ${\displaystyle A}$ называется цепным, если для любых двух его простых идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {p}}'}$ длины любых неуплотняемых цепочек простых идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \dots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'}$ совпадают. Кольцо ${\displaystyle A}$ называется универсально цепным, если цепным является любое кольцо многочленов ${\displaystyle A[T_{1},\dots ,T_{k}]}$.)

A2. Формальные слои кольца ${\displaystyle A}$ являются геометрически регулярными, т. е. для любого простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset A}$ и гомоморфизма из ${\displaystyle A}$ в поле ${\displaystyle K}$ кольцо ${\displaystyle {\hat {A}}_{\mathfrak {p}}\bigotimes _{A}K}$ регулярно. Здесь ${\displaystyle {\hat {A}}_{\mathfrak {p}}}$ – пополнение локального кольца ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$.

A3. Для любой целостной конечной ${\displaystyle A}$-алгебры ${\displaystyle B}$ найдётся ненулевой элемент ${\displaystyle b\in B}$ такой, что кольцо частных ${\displaystyle B[b^{-1}]}$ регулярно.

Превосходные кольца обладают следующими свойствами:

• для превосходного кольца ${\displaystyle A}$ множество регулярных (соответственно нормальных) точек схемы ${\displaystyle {\rm {Spec}}\,A}$ открыто;
• если превосходное локальное кольцо ${\displaystyle A}$ приведённое (соответственно нормальное, равноразмерное), то таким же будет пополнение ${\displaystyle A}$;
• целое замыкание превосходного кольца ${\displaystyle A}$ в конечном расширении поля частных кольца ${\displaystyle A}$ является конечной ${\displaystyle A}$-алгеброй;
• если кольцо ${\displaystyle A}$ превосходное, то любая ${\displaystyle A}$-алгебра конечного типа – также превосходное кольцо.

Два важнейших примера превосходных колец – полные локальные кольца (или аналитические кольца) и дедекиндовы кольца с полем частных нулевой характеристики. Таким образом, класс превосходных колец достаточно широк и, в частности, содержит все алгебры конечного типа над полем или над кольцом целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Превосходность кольца ${\displaystyle A}$ тесно связана с возможностью разрешения особенностей схемы ${\displaystyle {\rm {Spec}}\,A}$ (Grothendieck. 1965; Хиронака. 1965).