Геометрическое кольцо

Геометри́ческое кольцо́, локальное кольцо алгебраического многообразия или пополнение такого кольца. Коммутативное кольцо, получаемое из кольца многочленов над полем применением операций пополнения, локализации и факторизации по простому идеалу, называется алгебро-геометрическим кольцом (Samuel. 1953^[1]). Локальное кольцо неприводимого алгебраического многообразия после пополнения не приобретает нильпотентных элементов (Chevalley. 1945^[2]). Такое свойство локального кольца называется аналитической приведённостью. Имеет место аналогичный факт о локальных кольцах нормальных многообразий (Зарисский. 1963^[3]): пополнение локального кольца нормального алгебраического многообразия является нормальным кольцом (аналитическая нормальность). Известны примеры локальных нётеровых колец, не являющихся аналитически приведёнными или аналитически нормальными (Nagata. 1962^[4]). Псевдогеометрическим кольцом называется нётерово кольцо, любое факторкольцо которого по простому идеалу является японским кольцом. Область целостности $A$ называется японским кольцом, если её целое замыкание в конечном расширении поля частных есть конечный $A$ -модуль (Grothendieck. 1967). Класс псевдогеометрических колец замкнут относительно локализаций и расширений конечного типа; к нему относятся кольцо целых чисел и все полные локальные кольца. См. также в статье Превосходное кольцо.

↑ Samuel P. Algèbre locale / P. Samuel // Mémorial des sciences mathématiques. – 1953. – Fasc. 123. – P. 1–80.
↑ Chevalley C. Intersections of algebraic and algebroid varieties / Claude Chevalley // Transactions of the American Mathematical Society. – 1945. – Vol. 57, № 1. – P. 1–85.
↑ Зарисский О. Коммутативная алгебра. Т. 2 / О. Зарисский, П. Самюэль ; пер. с англ. О. Н. Введенского [и др.] ; под ред. А. И. Узкова. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1963.
↑ Nagata M. Local rings / Masayoshi Nagata. – New York : Interscience Publishers, 1962. – (Interscience tracts in pure and applied mathematics ; 13).

Chevalley C. Intersections of algebraic and algebroid varieties // Transactions of the American Mathematical Society. – 1945. – Vol. 57, № 1. – P. 1–85.
Samuel P. Algèbre locale // Mémorial des sciences mathématiques. – 1953. – Fasc. 123. – P. 1–80.
Nagata M. Local rings. – New York : Interscience Publishers, 1962. – (Interscience tracts in pure and applied mathematics ; 13).
Зарисский О. Коммутативная алгебра. Т. 2 / О. Зарисский, П. Самюэль ; пер. с англ. О. Н. Введенского [и др.]. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1963.
Grothendieck A. Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie // Publications Mathématiques de l'IHÉS. – 1967. – Vol. 32. – P. 5–361.

[1] Samuel P. Algèbre locale / P. Samuel // Mémorial des sciences mathématiques. – 1953. – Fasc. 123. – P. 1–80.

[2] Chevalley C. Intersections of algebraic and algebroid varieties / Claude Chevalley // Transactions of the American Mathematical Society. – 1945. – Vol. 57, № 1. – P. 1–85.

[3] Зарисский О. Коммутативная алгебра. Т. 2 / О. Зарисский, П. Самюэль ; пер. с англ. О. Н. Введенского [и др.] ; под ред. А. И. Узкова. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1963.

[4] Nagata M. Local rings / Masayoshi Nagata. – New York : Interscience Publishers, 1962. – (Interscience tracts in pure and applied mathematics ; 13).

[1]

[2]

[3]

[4]

Геометрическое кольцо

Примечания

Литература