Правильная линейная система

Пра́вильная лине́йная систе́ма обыкновенных дифференциальных уравнений, система вида

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (1)

[где ${\displaystyle A(\cdot )}$ – суммируемое на каждом отрезке отображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})}$], обладающая свойством:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\operatorname {tr} A(\tau )d\tau }$

существует и равен ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}(A)}$, где ${\displaystyle \lambda _{1}(A)\geqslant \ldots \geqslant \lambda _{n}(A)}$ – характеристические показатели Ляпунова системы (1). Для того чтобы треугольная система

${\displaystyle {\dot {u}}^{i}=\sum _{j=i}^{n}p_{ij}(t)u^{j},\quad i=1,\ldots ,n,}$

была правильной, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}p_{ii}(\tau )d\tau ,\quad i=1,\ldots ,n,}$

– критерий Ляпунова. Всякая приводимая линейная система и всякая почти приводимая линейная система являются правильными.

Роль понятия правильной линейной системы проясняется на следующей теореме Ляпунова. Пусть система (1) правильная и ${\displaystyle k}$ её характеристических показателей Ляпунова отрицательны:

${\displaystyle 0>\lambda _{n-k+1}(A)\geqslant \ldots \geqslant \lambda _{n}(A)}$.

Тогда для всякой системы

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+g(t,x),}$ (2)

где ${\displaystyle g(t,x)}$ удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle g,g_{x}^{\prime }}$ непрерывны, ${\displaystyle g(0,t)\equiv 0}$, ${\displaystyle \left\|g_{x}^{\prime }(x,t)\right\|=O\left(|x|^{\varepsilon }\right)}$, где ${\displaystyle \varepsilon =\operatorname {const} >0}$, – найдётся ${\displaystyle k}$-мерное многообразие ${\displaystyle V^{k}\subset \mathbb {R} ^{n}}$, содержащее точку ${\displaystyle x=0}$, такое, что всякое решение ${\displaystyle x(t)}$ системы (2), начинающееся на ${\displaystyle V^{k}}$ [т. е. ${\displaystyle x(0)\in V^{k}}$], экспоненциально убывает при ${\displaystyle t\rightarrow +\infty }$, точнее, удовлетворяет неравенству

${\displaystyle |x(t)|\leqslant C_{\delta }e^{\left[\lambda _{n-k+1}(A)+\delta \right]t}|x(0)|}$

(для всякого ${\displaystyle \delta >0}$ при некотором ${\displaystyle C_{\delta }}$).