Характеристический показатель Ляпунова

Характеристи́ческий показа́тель Ляпуно́ва решения линейной системы, верхний предел

${\displaystyle \lambda _{x(t)}=\limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1}{t}}\ln |x(t)|}$,

где ${\displaystyle x(t)\neq 0}$ – решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x;}$ (1)

здесь ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle A(\cdot )}$– суммируемое на каждом отрезке отображение ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\right)}$ или ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle A(\cdot )}$ – суммируемое на каждом отрезке отображение ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {C} ^{n},\mathbb {C} ^{n}\right)}$. В координатной записи

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=\left(x^{1}(t),\ldots ,x^{(n)}(t)\right),\\{\dot {x^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}(t)x^{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle a_{j}^{i}(t)}$ – суммируемые на каждом отрезке функции, а

${\displaystyle |x|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left|x^{i}\right|^{2}}}}$

(или любая другая эквивалентная норма; ${\displaystyle \lambda _{x(t)}}$ не зависит от выбора нормы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ или в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n})}$.

Теорема Ляпунова. Пусть

${\displaystyle \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\|A(\tau )\|\,d\tau <+\infty ;}$

эквивалентно,

${\displaystyle \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\left|a_{j}^{i}(\tau )\right|\,d\tau <+\infty ,\qquad i,j=1,\ldots ,n}$.

Тогда для всякого решения ${\displaystyle x(t)\neq 0}$ системы (1) характеристический показатель Ляпунова ${\displaystyle \lambda _{x(t)}}$ – действительное число (т. е. ${\displaystyle \neq \pm \infty }$). Для характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения:

1) ${\displaystyle \lambda _{\alpha x(t)}=\lambda _{x(t)}}$, ${\displaystyle \alpha \neq 0}$;

2) ${\displaystyle \lambda _{\left(x_{1}(t)+x_{2}(t)\right)}\leqslant \max \left(\lambda _{x_{1}(t)},\lambda _{\left.x_{2}t\right)}\right)}$;

3) существуют линейно независимые решения ${\displaystyle x_{i}(t)}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, системы (1), обладающие свойством: для всяких ${\displaystyle n}$ линейно независимых решений ${\displaystyle {\widehat {x_{i}}}(t)}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, системы (1), занумерованных в порядке убывания характеристических показателей Ляпунова, т. е. ${\displaystyle \lambda _{{\widehat {x}}_{i}(t)}\geqslant \lambda _{{\widehat {x}}_{j}}(t)}$ при ${\displaystyle i\leqslant j}$, выполняются неравенства

${\displaystyle \lambda _{{\widehat {x}}_{i}(t)}\geqslant \lambda _{x_{i}(t)},\qquad i=1,\ldots ,n}$.

Фундаментальная система решений ${\displaystyle x_{i}(t)}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, обладающих этим свойством, называется нормальной; при этом:

a) семейство чисел ${\displaystyle \lambda _{i}(A)=\lambda _{x_{i}}(t)}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ не зависит от выбора нормальной фундаментальной системы ${\displaystyle x_{i}(t)}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$;

б) для всякого решения ${\displaystyle x(t)\neq 0}$ системы (1) характеристический показатель Ляпунова ${\displaystyle \lambda _{x(t)}}$ равен некоторому ${\displaystyle \lambda _{i}(A)}$;

в) ${\displaystyle \lambda _{i}(A)\geqslant \lambda _{j}(A)}$, ${\displaystyle i\leqslant j}$.

Числа ${\displaystyle \lambda _{1}(A)\geqslant \ldots \geqslant \lambda _{n}(A)}$ называются характеристическими показателями Ляпунова системы (1); число ${\displaystyle \lambda _{1}(A)}$ часто называется старшим характеристическим показателем Ляпунова системы (1).

Множество всех характеристических показателей Ляпунова ненулевых решений системы (1) называется её спектром.

Частные случаи. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. е. ${\displaystyle A(t)\equiv A(0)}$). В этом случае ${\displaystyle \lambda _{i}(A)}$ равны действительным частям собственных значений оператора ${\displaystyle A(0)}$ (матрицы ${\displaystyle \left\|a_{j}^{i}\right\|}$).

2) Система с периодическими коэффициентами (т. е. ${\displaystyle A(t+T)\equiv A(t)}$, ${\displaystyle T>0}$). В этом случае

${\displaystyle \lambda _{i}(A)={\frac {1}{T}}\ln \left|\mu _{i}\right|}$,

где ${\displaystyle \mu _{i}}$ – мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность).

Роль характеристических показателей Ляпунова в теории устойчивости по Ляпунову основана на следующем утверждении: если ${\displaystyle \lambda _{1}(A)<0}$ (${\displaystyle >0}$), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно, неустойчивы). Из того, что ${\displaystyle \lambda _{1}(A)<0}$, не следует, что нулевое решение системы

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+O\left(|x|^{2}\right)}$

устойчиво поЛяпунову; однако если дополнительно известно, что система (1) – правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова).

Пусть система ${\displaystyle x=B(t)x}$ получена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию

${\displaystyle \sup _{t\in \mathbb {R} }\|A(t)\|<+\infty }$,

т. е. расстояние между ними, определяемое формулой

${\displaystyle d(A,B)=\sup _{t\in \mathbb {R} }\|A(t)-B(t)\|,}$ (2)

мало. При ${\displaystyle n>1}$ отсюда не следует, что величина

${\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)-\lambda _{1}(B)\right|}$

мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодические коэффициенты, а также для некоторых других систем); иными словами, функционалы ${\displaystyle \lambda _{i}(A)}$ не всюду непрерывны на пространстве систем (1) (${\displaystyle \sup _{t\in \mathbb {R} }\|A(t)\|<+\infty }$), наделённом указанной метрикой (2).

Характеристические показатели Ляпунова введены А. М. Ляпуновым, причём не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на ${\displaystyle R_{+}}$ (^[1]).