Дедекиндово сечение

Дедеки́ндово сече́ние, разбиение множества действительных чисел ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ (или множества рациональных чисел ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$) на два непустых множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, в сумме дающих ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {Q}})}$ таких, что для каждого ${\displaystyle a\in A}$ и ${\displaystyle b\in B}$ выполняется неравенство ${\displaystyle a<b}$. Дедекиндовы сечения введены Р. Дедекиндом (1872) при построении действительных чисел, когда иррациональные числа понимаются как такие сечения множества рациональных чисел, для которых в ${\displaystyle A}$ нет наибольшего, а в ${\displaystyle B}$ нет наименьшего рационального числа.

Свойство непрерывности (полноты) действительных чисел с помощью дедекиндова сечения формулируется так: для каждого дедекиндова сечения множества действительных чисел существует такое число, которое является либо наибольшим в ${\displaystyle A}$, либо наименьшим в ${\displaystyle B}$. Такое число называют рубежом дедекиндова сечения.