Поле Галуа

По́ле Галуа́ (конечное поле), поле, число элементов которого конечно. Впервые рассматривалось Э. Галуа (Галуа. 1936.^[1] С. 35–47).

Число элементов любого поля Галуа есть степень ${\displaystyle p^{n}}$ некоторого натурального простого числа ${\displaystyle p}$, являющегося характеристикой этого поля. Для любого натурального простого ${\displaystyle p}$ и любого натурального ${\displaystyle n}$ существует (и единственно с точностью до изоморфизма) поле из ${\displaystyle p^{n}}$ элементов. Оно обозначается ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ или ${\displaystyle \mathrm {F} _{p^{n}}}$. Поле ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{m}\right)}$ содержит в качестве подполя поле ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ в том и только в том случае, когда ${\displaystyle m}$ делится на ${\displaystyle n}$. B частности, в любом поле ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ содержится поле ${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$, называемое простым полем характеристики ${\displaystyle p}$. Поле ${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$ изоморфно полю ${\displaystyle Z/(p)}$ классов вычетов кольца целых чисел по простому модулю ${\displaystyle p}$. В любом фиксированном алгебраическом замыкании ${\displaystyle \Omega }$ поля ${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$ существует точно одно подполе ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$для каждого ${\displaystyle n}$. Соответствие ${\displaystyle n\leftrightarrow \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ является изоморфизмом между решёткой натуральных чисел относительно делимости и решёткой конечных алгебраических расширений поля ${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$, лежащих в ${\displaystyle \Omega }$, относительно включения. Такова же решётка множества конечных алгебраических расширений любого поля Галуа, лежащих в его фиксированном алгебраическом замыкании.

Алгебраическое расширение ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)/\mathrm {GF} (p)}$ является простым, т. е. существует примитивный элемент ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ такой, что ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)=\mathrm {GF} (p)(\alpha )}$. Таким ${\displaystyle \alpha }$ будет любой корень каждого неприводимого многочлена степени ${\displaystyle n}$ из кольца ${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[\mathrm {X} ]}$. Число примитивных элементов расширения ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)/\mathrm {GF} (p)}$ равно

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)p^{n/d}}$,

где ${\displaystyle \mu }$ – функция Мёбиуса. Аддитивная группа поля ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ естественным образом наделяется структурой ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства над ${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$. B качестве базиса можно взять ${\displaystyle 1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1}}$. Ненулевые элементы поля ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$образуют мультипликативную группу ${\displaystyle \mathrm {GF} ^{*}\left(p^{n}\right)}$порядка ${\displaystyle p^{n}-1}$, т. е. каждый элемент из ${\displaystyle \mathrm {GF} ^{*}\left(p^{n}\right)}$ является корнем многочлена ${\displaystyle X^{p^{n}-1}-1}$.

Группа ${\displaystyle \mathrm {GF} ^{*}\left(p^{n}\right)}$ циклическая, её образующие – первообразные корни из единицы степени ${\displaystyle p^{n}-1}$, число которых равно ${\displaystyle \varphi \left(p^{n}-1\right)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ – функция Эйлера. Каждый первообразный корень из единицы степени ${\displaystyle p^{n}-1}$ является примитивным элементом расширения ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)/\mathrm {GF} (p)}$, но не наоборот. Точнее, среди

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)p^{n/d}}$

неприводимых унитарных многочленов степени ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$ имеется ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\varphi \left(p^{n}-1\right)}$ таких, корни которых будут образующими для ${\displaystyle \mathrm {GF} ^{*}\left(p^{n}\right)}$.

Множество элементов поля ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ в точности совпадает с множеством корней многочлена ${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$ в ${\displaystyle \Omega }$, т. е. ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ характеризуется как подполе элементов из ${\displaystyle \Omega }$, инвариантных относительно автоморфизма ${\displaystyle {{\ce {\tau: x -> x^{p^n}}}}}$, называемого автоморфизмом Фробениуса. Если ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{m}\right)\supset \mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$, то расширение ${\displaystyle \mathrm {GF} \left(p^{m}\right)/\mathrm {GF} \left(p^{n}\right)}$ нормально, а его группа Галуа ${\displaystyle \mathrm {Gal} \left(\mathrm {GF} \left(p^{m}\right)/\mathrm {GF} \left(p^{n}\right)\right)}$ циклическая порядка ${\displaystyle m/n}$. B качестве образующей группы ${\displaystyle \mathrm {Gal} \left(\mathrm {GF} \left(p^{m}\right)/\mathrm {GF} \left(p^{n}\right)\right)}$ может быть взят автоморфизм ${\displaystyle \tau }$.