Параметрическое представление в теории однолистных функций

Параметри́ческое представле́ние в тео́рии одноли́стных фу́нкций, представление однолистных функций, осуществляющих конформное отображение плоских областей на области канонического вида (например, на круг с концентрическими разрезами); оно возникает обычно следующим образом. Выбирается однопараметрическое семейство областей ${\displaystyle Q_{t}}$, ${\displaystyle 0\leq t<T}$, вложенных друг в друга, ${\displaystyle Q_{t'}\subset Q_{t}}$, ${\displaystyle 0\leq t'<t<T}$. Для области ${\displaystyle Q_{0}}$ предполагается известным её конформное отображение ${\displaystyle f_{0}}$ на некоторую каноническую область ${\displaystyle B_{0}}$. По известному отображению ${\displaystyle f_{t}}$ области ${\displaystyle Q_{t}}$ на область канонического вида строится такое же отображение ${\displaystyle f_{t+\varepsilon }}$ для области ${\displaystyle Q_{t+\varepsilon }}$, где ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и мало. При непрерывном изменении параметра ${\displaystyle t}$ на этом пути возникают дифференциальные уравнения, наиболее известными из которых являются уравнение Лёвнера и уравнение Лёвнера – Куфарева. В дискретном случае – для сеточных областей ${\displaystyle Q_{t}}$ и натурального параметра ${\displaystyle t}$ – переход от отображения ${\displaystyle f_{t}}$ к отображению ${\displaystyle f_{t+\varepsilon }}$, ${\displaystyle \varepsilon =1}$, осуществляется по рекуррентным формулам. Источником упомянутых формул и уравнений служит обычно формула Шварца (см. ^[1]) и её обобщения (см. Александров. 1972). Не менее важным источником параметрических представлений служат вариации Адамара (см. ^[2]; 1910) для функций Грина ${\displaystyle G_{t}(z,z')}$, ${\displaystyle z,z'\in Q_{t}}$, указанного выше семейства областей. Метод Адамара называется также методом инвариантного погружения (см. ^[3]) для эллиптических дифференциальных уравнений. Ниже показана связь параметрических представлений, вариаций Адамара и инвариантного погружения в простейшем (дискретном) случае.

Пусть ${\displaystyle Q}$ – некоторый набор целых комплексных чисел (сеточная область) и функция Грина ${\displaystyle G_{t}(z,z')}$ – экстремаль функционала Дирихле – Дугласа

${\displaystyle I_{t}(g)=2g(z')+\sum _{k=0}^{1}\sum _{z\in Q_{0}}\rho _{k}(t)\mid \nabla _{k}g(z)\mid ^{2}}$

в классе ${\displaystyle R_{0}}$ всех действительных на ${\displaystyle Q}$ функций ${\displaystyle g(z)}$. Здесь ${\displaystyle Q_{0}=\{z\mid z,z-1,z-i,z-1-i\in Q\}}$,

${\displaystyle \nabla _{0}g(z)=g(z)-g(z-1-i),\quad \nabla _{1}g(z)=g(z-1)-g(z-i),}$ (1)

${\displaystyle \rho _{k}(0)\equiv 1,\quad \rho _{k}(t+1)=\rho _{k}(t)+N\delta _{\zeta _{t}}^{\zeta }}$,

${\displaystyle N}$ – натуральное число, ${\displaystyle \delta _{\zeta _{t}}^{\zeta }}$ – символ Кронекера и ${\displaystyle \zeta _{t}=(k_{t},z_{t})}$, ${\displaystyle t=0,1,\dots ,T-1}$, – некоторый набор пар чисел; ${\displaystyle \left\{z_{t}\mid t=1,\dots ,T\right\}}$ – граница области ${\displaystyle Q_{t}}$, ${\displaystyle k_{t}=0}$ или ${\displaystyle 1}$. Нахождение экстремума функционала ${\displaystyle I_{t}(g)}$ – задача квадратичного программирования. Сравнение её решений при ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle t+1}$ даёт основную формулу инвариантного погружения (вариацию Адамара):

${\displaystyle G_{t+1}(z,z')=G_{t}(z,z')-{\frac {1}{c_{t}}}\nabla _{k_{t}}G_{t}(z_{t},z)\nabla _{k_{t}}G_{t}(z_{t},z'),}$ (2)

где ${\displaystyle c_{t}=N^{-1}-\nabla _{k+t}\nabla '_{k_{t}}G_{t}(z_{t},z_{t})>0}$, символ ${\displaystyle \nabla _{k}'}$ означает разностные операторы (1) по второму аргументу функции Грина. Зная функцию ${\displaystyle G_{0}(z,z')}$, можно шаг за шагом (рекуррентно) получить по формуле (2) все функции ${\displaystyle G_{t}(z,z')}$, ${\displaystyle t=1,\dots ,T}$. Достроив функцию Грина до сеточно аналитической функции ${\displaystyle f_{T}(z)=G_{T}(z,z')+iH_{T}(z,z')}$ согласно уравнениям типа Коши – Римана

${\displaystyle (-1)^{k}\nabla _{1-k}H=\rho _{k}\nabla _{k}G}$,

получают однолистное сеточно-квазиконформное отображение ${\displaystyle w=\operatorname {exp} [2\pi f_{T}(z)]}$ области ${\displaystyle Q_{T}}$ в единичный круг. Ближайшим к началу координат будет образ точки ${\displaystyle z'}$. В пределе при ${\displaystyle N\to \infty }$ отображение сеточно-конформно и образом области ${\displaystyle Q_{T}}$ служит круг с концентрическими разрезами. Получен непрерывный аналог формулы (2) (см. Попов. 1972). В случае, когда все области ${\displaystyle G_{t}}$ односвязны и канонической областью служит единичный круг ${\displaystyle B}$, удаётся, используя дробно-линейные автоморфизмы круга ${\displaystyle B}$, представить функцию Грина в явном виде

${\displaystyle G_{t}(z,z')=\operatorname {ln} \mid 1-f_{t}(z){\overline {f_{t}(z')}}\mid -\operatorname {ln} \mid f_{t}(z)-f_{t}(z')\mid }$

через функцию ${\displaystyle f_{t}(z)}$, отображающую ${\displaystyle Q_{t}}$ на ${\displaystyle B}$ с нормировкой ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle 0\in Q_{t}}$ для всех ${\displaystyle t\in [0,T)}$.

В терминах отображения ${\displaystyle w=f_{t}(z)}$ вариация Адамара сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (Лёвнера). По сравнению с вариацией Адамара это уравнение значительно проще, однако информация о границе области ${\displaystyle Q_{t}}$ представлена в нём неявно – через управляющий параметр ${\displaystyle \alpha (t)=\operatorname {arg} f_{t}(z_{t})}$, поскольку функция ${\displaystyle f_{t}(z)}$ заранее неизвестна. Тем не менее уравнение Лёвнера – основной инструмент параметрических представлений.

Были рассмотрены более общие однопараметрические семейства областей ${\displaystyle Q_{t}}$, ${\displaystyle 0\leq t<t}$, не обязательно вложенных друг в друга (см. Куфарев. 1943). Возникающие при таких параметрических представлениях уравнения называются уравнениями Куфарева – Лёвнера. Существуют также модификации уравнений Лёвнера и Куфарева – Лёвнера на те случаи, когда области ${\displaystyle Q_{t}}$ обладают различного рода симметриями или иными геометрическими особенностями (^[4]).</t<></math>