Открытый элемент симметрии

Откры́тый элеме́нт симме́три́и, геометрический образ открытой операции симметрии, отображающей бесконечную периодическую фигуру саму в себя при её параллельном переносе, повороте или отражении со сдвигом, которые при этом сохраняют расстояния между соответствующими точками симметричных частей фигуры и перемещают все её точки в новое, но неотличимое от исходного положение. Открытые элементы симметрии самосовмещаются при своём действии и характерны только для бесконечных фигур, периодичных в одном, двух, трёх или большем числе измерений. В трёхмерном евклидовом пространстве классические открытые элементы симметрии, которые в основном используются в кристаллографии, имеют вид отрезка (трансляция или параллельный перенос), прямой (винтовая ось) или плоскости (плоскость скользящего отражения). Последние 2 элемента симметрии введены в кристаллографию Л. Зонке (1879) и Е. С. Фёдоровым (1890) соответственно. Трансляции и винтовые оси являются элементами симметрии I рода, связывающими конгруэнтные (совместимые наложением) части бесконечной периодической фигуры, а плоскости скользящего отражения – элементами симметрии II рода, которые связывают энантиоморфные (зеркально-равные) части такой фигуры. Порядок открытого элемента симметрии равен порядку соответствующей открытой операции симметрии и минимальному числу их последовательных действий, необходимых для перевода бесконечной периодической фигуры в трансляционно эквивалентное положение. Первый порядок соответствует трансляционному сдвигу бесконечной периодической фигуры самой в себя, второй порядок имеют плоскости скользящего отражения и двойная винтовая ось, выше порядки только у винтовых осей. Действия винтовой оси и плоскости скользящего отражения соответственно включают поворот на элементарный угол ${\displaystyle \alpha }$ = 360°/n (n – порядок оси; положительным считается поворот против часовой стрелки) или зеркальное отражение, которые сочетаются со сдвигом вдоль оси на величину T/p (1 ${\displaystyle \leq }$ p ${\displaystyle \leq }$ n – 1) или сдвигом на T/2 вдоль плоскости, где T – параллельная этим элементам симметрии трансляция бесконечной периодической фигуры. Для символьных и графических обозначений винтовых осей и плоскостей скользящего отражения применяют международную систему, разработанную для кристаллографии К. Германом и Ш.-В. Могеном в 1928–1931 гг. Согласно этой системе, винтовые оси обозначаются символом n_p , а плоскости скользящего отражения – литерами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle e}$ в соответствии с направлением скольжения вдоль рёбер ячейки трёхмерной решётки или диагонали грани ячейки (рис. 1, 2).

При положении плоскости скользящего отражения параллельно чертежу её графически изображают как угол, на сторонах или диагонали которого стрелкой указано направление скольжения. Если направление скольжения плоскости не указано, то она обозначается как g. Из свойств винтовых осей n-го порядка следует, что число их различных видов равно n – 1, при этом среди винтовых осей высших порядков существуют пары энантиоморфных осей с противоположным направлением вращения (правым и левым), у которых сумма индексов p равна n, например 3₁ и 3₂ , 4₁ и 4₃ , 6₂ и 6₄ (рис. 1). Для двух- и трёхмерно-периодических фигур возможны только винтовые оси 2, 3, 4 или 6-го порядка из-за присутствия трансляций двух- или трёхмерной решётки, для бесконечных фигур с решётками более высоких размерностей допустимы винтовые оси 5-го, 7-го порядка и выше, а также многомерные открытые элементы симметрии (например, «трёхмерные» плоскости скользящего отражения).