Малый объект категории

Ма́лый объе́кт катего́рии, понятие, выделяющее такие объекты категории, которым присущи свойства математических структур с конечным числом образующих (конечномерных линейных пространств, конечно порождённых групп и т. д.). Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ – категория с копроизведениями. Объект ${\displaystyle U\in \mathop {Ob} {\mathfrak {K}}}$ называется малым, если для любого морфизма

${\displaystyle \varphi :U->{\prod }_{i\in I}^{*}U_{i}\left(\sigma _{i}\right)}$,

где ${\displaystyle U_{i}=U}$, ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle \sigma _{i}}$ – вложения копроизведения, найдётся конечное подмножество индексов ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ и такой морфизм

${\displaystyle \varphi ^{\prime }:U->U_{1}*\ldots *U_{n}\left(\sigma _{i}^{\prime }\right)}$,

что выполнено равенство

${\displaystyle U{\stackrel {\varphi }{->}}{\prod }_{i\in I}^{*}U_{i}=U{\stackrel {\varphi ^{\prime }}{->}}U_{1}*\ldots *U_{n}{\stackrel {\sigma }{->}}{\prod }_{i\in I}^{*}U_{i}}$,

в котором морфизм ${\displaystyle \sigma }$ однозначно определяется равенствами ${\displaystyle \sigma _{i}^{\prime }\sigma =\sigma _{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. Иногда даётся более сильное определение, в котором не предполагается, что все множители копроизведения ${\displaystyle \prod _{i\in I}^{*}U_{i}}$ совпадают c ${\displaystyle U}$.

В многообразиях универсальных алгебр следующие условия равносильны: а) алгебра ${\displaystyle A}$ является малым объектом категории; б) алгебра имеет конечное число образующих; в) основной ковариантный функтор ${\displaystyle H_{A}(X)=H(A,X)}$ перестановочен с копределами (прямыми пределами) направленных семейств мономорфизмов. Свойство в) часто принимается за определение конечно порождённого объекта произвольной категории.