Нормальное сечение

Норма́льное сече́ние, линия пересечения поверхности ${\displaystyle S}$ с плоскостью, проведённой через нормаль в данной точке. С помощью нормального сечения изучается искривление поверхности ${\displaystyle S}$ в различных (касательных) направлениях, выходящих из данной точки. Среди этих направлений имеются два (взаимно перпендикулярных) т. н. главных направления, для которых нормальная кривизна (т. е. кривизна соответствующего нормального сечения) достигает наибольшего и наименьшего значений ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ (т. н. главные криви́зны в данной точке); при этом криви́зны нормального сечения берутся со знаком + (или −), если направление вогнутости сечения совпадает (противоположно) с положительным направлением нормали к поверхности. Нормальные криви́зны поверхности в произвольных направлениях просто выражаются через главные криви́зны. Именно, кривизна ${\displaystyle k_{n}}$ нормального сечения, проведённого в направлении, составляющем угол ${\displaystyle \varphi }$ с первым из указанных выше главных направлений, связана с ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ формулой Эйлера

${\displaystyle k_{n}=k_{1}\cos ^{2}\varphi +k_{2}\cos ^{2}\varphi }$.

С помощью кривизн нормального сечения изучаются также криви́зны наклонных сечений поверхности. Именно, кривизна наклонного сечения плоскостью ${\displaystyle \pi }$, проходящей через данную касательную прямую, выражается формулой Мёнье

${\displaystyle k=k_{n}/cos\theta }$,

где ${\displaystyle \theta }$ – угол между плоскостью ${\displaystyle \pi }$ и нормалью к поверхности, ${\displaystyle k_{n}}$ – нормальная кривизна поверхности в направлении данной касательной.