Нормальная кривизна

Норма́льная кривизна́ регулярной поверхности, величина, характеризующая отклонение поверхности в направлении ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}}$ от своей касательной плоскости в точке ${\displaystyle P}$, совпадающая по абсолютной величине с кривизной соответствующего нормального сечения. Нормальная кривизна в направлении ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}}$ равна

${\displaystyle k_{\boldsymbol {l}}=({\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {N}})k}$,

где ${\displaystyle k}$ – кривизна нормального сечения в направлении ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ – единичный вектор главной нормали нормального сечения, ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$ – единичный вектор нормали поверхности. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении совпадает с нормальной кривизной соприкасающегося параболоида в том же направлении. Нормальная кривизна поверхности, параметризованной параметрами ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, может быть выражена через значения первой и второй квадратичных форм поверхности, вычисленных для значений ${\displaystyle (du:dv)}$, соответствующих направлению ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}}$, по формуле

${\displaystyle k_{l}={\frac {II}{I}}={\frac {Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2}}{Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}}}}$.

Кривизна регулярной кривой, лежащей на поверхности, связана с нормальной кривизной поверхности в направлении ${\displaystyle {\boldsymbol {l}}}$, касательном к кривой, и с геодезической кривизной ${\displaystyle k_{g}}$ этой кривой соотношением

${\displaystyle k{\boldsymbol {n}}=k_{g}[{\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {l}}]+k_{\imath }{\boldsymbol {N}}}$

(см. также Теорема Мёнье). С помощью нормальной кривизны конструируется индикатриса Дюпена, гауссова и средняя кривизны поверхности и многие другие понятия локальной геометрии поверхности.