Неклассические логики

Некласси́ческие ло́гики, широкая область логических теорий, исследующих различные формы рассуждений, не охватываемые классической логикой высказываний и логикой предикатов.

Первые неклассические логики строились путём отбрасывания какого-либо из законов классической логики. В 1908 г. в статье Л. Э. Я. Брауэра «О недостоверности логических принципов» были подвергнуты критике закон исключённого третьего и закон снятия двойного отрицания. Идеи Брауэра были реализованы его учеником, голландским математиком и логиком А. Гейтингом (1898–1980), который в 1930 г. построил интуиционистскую логику, не содержащую этих законов. В 1910 г. одновременно и независимо друг от друга Н. А. Васильев и Я. Лукасевич указали на возможность построения логик без закона непротиворечия, что положило начало развитию паранепротиворечивой логики (С. Яськовский, 1948; Н. да Коста, 1963, и др.). В 1912 г. К. И. Льюис построил первую неклассическую теорию логического следования, введя «строгую» импликацию взамен материальной импликации, не учитывающей связь высказываний по содержанию. Дальнейшие исследования условной связи привели к построению логики следования (В. Аккерман, 1956) и релевантной логики (А. Р. Андерсон и Н. Белнап, 1960-е гг.). Считая, что логическое следование тесно связано с понятиями необходимости и возможности, Льюис ввёл модальные операторы с аналогичными названиями и в 1918 г. сформулировал модальную теорию, послужившую началом быстрого развития модальной логики. В 1920 г. Лукасевич предложил первую многозначную логику (трёхзначную), не опирающуюся на принцип двузначности (в его системе не имели место также законы исключённого третьего и непротиворечия); в 1921 г. американский математик и логик Э. Л. Пост (1897–1954) построил многозначную логику более чем с тремя истинностными значениями. Наконец, с появлением квантовой физики были построены: квантовые логики (Г. Биркгоф и Дж. фон Нейман, 1936), где критиковался закон дистрибутивности; «логика Шрёдингера» (1994), в которой была подвергнута сомнению (согласно Э. Шрёдингеру) общезначимость закона тождества как не имеющего место для микрообъектов.

Иной подход к созданию неклассических логик реализован в середине 1950-х гг. новозеландским логиком А. Н. Прайором, который добавил к классической логике высказываний временны́е операторы и построил первые системы временно́й логики. Подобным образом – как расширение классической логики высказываний – строятся логика доказуемости, деонтическая логика, эпистемическая, императивная, динамическая и многие другие логики. При этом существуют неклассические логики, не являющиеся ни сужением, ни расширением классической логики (например, комбинаторная логика, инфинитарные логики, системы Лесьневского и т. д.).

Между различными неклассическими логиками существуют сложные взаимосвязи. Оказалось, что многие неклассические логики могут определяться через другие: например, интуиционистская и модальная логики (и многие другие) могут быть истолкованы как многозначные (бесконечнозначные); модальная логика может строиться на основе интуиционистской, а квантовая представима как модальное расширение бесконечнозначной логики Лукасевича. Заслуживает внимания тот факт, что самих логик, например расширений интуиционистской (суперинтуиционистские логики), существует бесконечно много, в сущности – континуум. Современное состояние развития неклассических логик, характеризующееся появлением всё новых логических теорий, получило название «логический плюрализм». Неклассические логики широко применяются в компьютерных науках, искусственном интеллекте и логическом программировании.