Логические операции

Логи́ческие опера́ции, способы построения сложного высказывания из данных высказываний, при которых истинностное значение сложного высказывания [оно может принимать одно из двух значений – «истина» (И) или «ложь» (Л)] полностью определяется истинностными значениями исходных высказываний. Примерами логических операций являются дизъюнкция, конъюнкция, импликация, отрицание, а также кванторы.

Дизъюнкцией называется логическая операция, заключающаяся в соединении данных высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ в новое высказывание «${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle B}$». В формализованных языках дизъюнкция высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обозначается ${\displaystyle A\!v\!B}$ (читается: «${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle B}$», «имеет место ${\displaystyle A}$ или имеет место ${\displaystyle B}$»), ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются дизъюнктивными членами высказывания ${\displaystyle A\!v\!B}$, ${\displaystyle v}$ – знаком дизъюнкции. В обычной речи возможны два понимания союза «или»: в исключающем и неисключающем смыслах. При первом понимании высказывание «${\displaystyle A}$ или ${\displaystyle B}$» означает, что истинно ровно одно из двух высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, при втором – что истинно хотя бы одно из них. В математической логике термин «дизъюнкция» относится к истолкованию союза «или» во втором смысле. Такому употреблению дизъюнкции соответствует т. н. истинностная таблица.

Истинностная таблица для дизъюнкции

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\!v\!B}$
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Конъюнкцией называется логическая операция, заключающаяся в соединении двух данных высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ в новое высказывание «${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$». В формализованных языках конъюнкция высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обозначается ${\displaystyle A\&B}$ (а также ${\displaystyle A\!\wedge \!B}$, ${\displaystyle A\!\cdot \!B}$, ${\displaystyle AB}$, читается: «${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$», «имеет место ${\displaystyle A}$ и имеет место ${\displaystyle B}$»), ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются конъюнктивными членами высказывания ${\displaystyle A\&B}$, ${\displaystyle \&amp}$; – знаком конъюнкции. Употреблению конъюнкции в математической логике соответствует истинностная таблица.

Истинностная таблица для конъюнкции

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\&B}$
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Из таблицы видно, что высказывание ${\displaystyle A\&B}$ истинно только при истинности обоих высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Импликацией называется логическая операция, заключающаяся в соединении данных высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ в новое высказывание «если ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$». В формализованных языках импликация высказываний ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обозначается ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ [а также ${\displaystyle A\rightarrow B,A\supset B}$, читается: «если ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$», «${\displaystyle A}$ влечёт (имплицирует) ${\displaystyle B}$»]. Высказывание ${\displaystyle A}$ называется посылкой высказывания ${\displaystyle A\Rightarrow B}$, а высказывание ${\displaystyle B}$ – его заключением. В обычной речи утверждение «если ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$», как правило, предполагает наличие причинной связи между тем, что утверждается в высказывании ${\displaystyle A}$, и тем, что утверждается в высказывании ${\displaystyle B}$, и его истинность зависит от смысла этих высказываний. В математической логике обычно учитывается лишь истинность или ложность высказываний, а не смысл. Поэтому импликация обычно понимается в соответствии с истинностной таблицей.

Истинностная таблица для импликации

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\Rightarrow B}$
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Из таблицы видно, что высказывание ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ считается ложным лишь в том случае, когда его посылка истинна, а заключение ложно. При таком понимании оказываются истинными, например, такие высказывания: «${\displaystyle 2+2=4\Rightarrow {\text{sin}}{\frac {\pi }{2}}=1}$», «${\displaystyle 2>3\Rightarrow 4}$ – простое число».

Отрицанием называется логическая операция, в результате которой из данного высказывания ${\displaystyle A}$ получается новое высказывание «не ${\displaystyle A}$». В формализованных языках высказывание, получающееся в результате отрицания высказывания ${\displaystyle A}$, обозначается ${\displaystyle -A}$ (а также ${\displaystyle {\bar {A}}}$, ${\displaystyle A^{\prime }}$, читается: «не ${\displaystyle A}$», «неверно, что ${\displaystyle A}$», «${\displaystyle A}$ не имеет места»). Отрицание в математической логике задаётся истинностной таблицей.

Истинностная таблица для отрицания

${\displaystyle A}$	${\displaystyle -A}$
И	Л
Л	И

См. также Алгебра логики.