Модальная логика

Мода́льная ло́гика, раздел логики, в котором наряду с обычными высказываниями рассматриваются модальные высказывания, т. е. высказывания типа «необходимо, что», «возможно, что» и т. п. В математической логике рассматриваются различные формальные системы модальной логики, выявляется взаимосвязь между этими системами, изучаются их интерпретации. Большое разнообразие систем модальной логики объясняется тем, что понятия «возможно» и «необходимо» можно уточнять различными способами и, кроме того, по-разному трактовать сложные модальности типа «необходимо возможно» и взаимоотношения модальностей с логическими связками. Большинство изучавшихся систем модальной логики опирается на классическую логику.

В классических системах модальной логики (для которых справедлив закон исключённого третьего ${\displaystyle \left.A\vee \right\rceil A}$ или закон снятия двойного отрицания ${\displaystyle \left.\left.\right\rceil \;\right\rceil A\supset A}$) для модальностей имеют место соотношения двойственности, аналогичные законам де Моргана

${\displaystyle \left.\left.\left.\left.\left.\left.\right\rceil (A\vee B)\equiv (\right\rceil A\And \right\rceil B)\quad {\text{и}}\quad \right\rceil (A\And B)\equiv (\right\rceil A\vee \right\rceil B)}$

алгебры логики и соответствующим эквивалентностям для кванторов, связывающие операторы возможности ${\displaystyle \Diamond }$ и необходимости ${\displaystyle \Box }$ с отрицанием ${\displaystyle \left.\right\rceil }$:

${\displaystyle \left.\left.\left.\left.\Box A\equiv \right\rceil \Diamond \right\rceil A\quad {\text{и}}\quad \Diamond A\equiv \right\rceil \Diamond \right\rceil A}$.

Поэтому в аксиоматических системах модальной логики в качестве исходной вводят обычно одну модальную операцию (используя какую-либо из этих эквивалентностей в качестве определения другой операции). Аналогично вводятся и другие модальные операции (не входящие в число логических операций и невыразимые через них).

Системы модальной логики могут быть интерпретированы в терминах многозначной логики (например, как трёхзначные – «истина», «ложь», «возможно»).

Элементы модальной логики имелись, по существу, у Аристотеля. Впервые модальная логика была формализована К. И. Льюисом. Важную роль в развитии модальной логики имели работы Я. Лукасевича.