Модель эндогенного роста Ромера

При производстве конечного товара используется производственная функция с постоянной отдачей от масштаба, факторами производства являются труд ${\displaystyle L}$ и промежуточные продукты ${\displaystyle x_{t}^{i}}$. В каждый момент времени ${\displaystyle t}$ для производства конечного продукта ${\displaystyle Y_{t}}$ используется ${\displaystyle m_{t}}$ различных промежуточных продуктов в объёме ${\displaystyle x_{t}^{i}\ (i=1,\ldots ,m_{t})}$ и труд в объёме ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle Y_{t}=A\sum _{i=1}^{m_{t}}(x_{t}^{i})^{\alpha }L^{1-\alpha }}$,

где ${\displaystyle 0<\alpha <1,\ A}$ – уровень развития технологии.

Фирма максимизирует свою прибыль:

${\displaystyle \Pi =A\sum _{i=1}^{m_{t}}(x_{t}^{i})^{a}L^{1-\alpha }-\sum _{i=1}^{m_{t}}p_{t}^{i}x_{t}^{i}-wL\rightarrow \max _{x_{t}^{i},L}}$,

где ${\displaystyle p_{t}^{i}}$ – цена промежуточного продукта ${\displaystyle i}$ в момент ${\displaystyle t}$; ${\displaystyle P=1}$ – цена конечного продукта; ${\displaystyle L=const}$; ${\displaystyle w=const}$.

Необходимые условия максимума имеют вид:

${\displaystyle {\begin{cases}{\ {\begin{array}{c}{\frac {\partial \Pi }{\partial x_{t}^{i}}}=0,\ \forall i,t\ (1)\\{\frac {\partial \Pi }{\partial L}}=0,\ \forall i,t\ (2)\end{array}}}\end{cases}}}$.

Из выражения (1) следует, что ${\displaystyle \alpha A(x_{t}^{i})^{\alpha -1}L^{1-\alpha }=p_{t}^{i}}$ или

${\displaystyle \alpha A(x_{t}^{i})^{-(1-\alpha )}L^{1-\alpha }=p_{t}^{i}\ (3)}$.

Уравнение (3) задаёт спрос на ${\displaystyle i}$-й промежуточный товар (обратная функция спроса).

Из выражения (2) получаем:

${\displaystyle (1-\alpha )A\sum _{i=1}^{m_{t}}(x_{t}^{i})^{\alpha }L^{-\alpha }=w\ (4)}$.

Уравнение (4) задаёт спрос на труд.

Монополист производит ${\displaystyle i}$-й товар. Издержки, связанные с производством единицы любого существующего товара ${\displaystyle \gamma =const}$, одинаковы ${\displaystyle \forall i,t}$. Тогда задача максимизации прибыли монополиста, разрабатывающего и предлагающего товар, принимает следующий вид:

${\displaystyle {\widetilde {\Pi }}_{t}^{i}=p_{t}^{i}x_{t}^{i}-\gamma x_{t}^{i}\rightarrow \max _{p_{t}^{i},x_{t}^{i}},\ \forall i,t}$.

Используя обратную функцию спроса на инновационный продукт, получаем задачу максимизации прибыли фирмой:

${\displaystyle \max _{x_{t}^{i}}(\alpha A(x_{t}^{i})^{-(1-\alpha )}L^{1-\alpha }x_{t}^{i}-\gamma x_{t}^{i})}$.

Из необходимого условия максимума получаем соотношение:

${\displaystyle {\frac {\partial {\widetilde {\Pi }}_{t}^{i}}{\partial x_{t}^{i}}}=A\alpha ^{2}(x_{t}^{i})^{\alpha -1}L^{1-\alpha }-\gamma =0}$,

откуда получаем, что ${\displaystyle \alpha p_{t}^{i}=\gamma }$. Поэтому цена промежуточного товара одинакова для всех видов и неизменна во времени ${\displaystyle p_{t}^{i}={\frac {\gamma }{\alpha }}=const\ \forall i,t}$.

Чтобы определить, какой объём каждого промежуточного товара будет произведён, подставим найденную цену промежуточного товара ${\displaystyle p_{t}^{i}}$ в функцию спроса (3):

${\displaystyle \alpha A(x_{t}^{j})^{-(1-\alpha )}L^{1-\alpha }={\frac {\gamma }{\alpha }}}$.

Отсюда ${\displaystyle x_{t}^{i}=x=[{\frac {\alpha ^{2}A}{\gamma }}]^{\frac {1}{1-\alpha }}L}$. Таким образом, предложение каждого товара одинаково и не меняется во времени.

Далее, чтобы найти объём производства конечного товара, подставляем ${\displaystyle x}$ в производственную функцию:

${\displaystyle Y=A\sum _{i=1}^{m_{t}}(x_{t}^{i})^{\alpha }L^{1-\alpha }=A\sum _{i=1}^{m_{t}}L[{\frac {A\alpha ^{2}}{\gamma }}]^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}=[{\frac {A\alpha ^{2}}{\gamma }}]^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}ALm_{t}={\overline {A}}Lm_{t}}$, (5)

где ${\displaystyle \ {\overline {A}}=A^{\frac {1}{1-\alpha }}[{\frac {\alpha ^{2}}{\gamma }}]^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$.

Из соотношения (5) следует, что темпы роста экономики совпадают с темпом роста количества используемых промежуточных товаров:

${\displaystyle {\frac {Y_{t+1}}{Y_{t}}}=({\overline {A}}\cdot m_{t+1}\cdot L)/({\overline {A}}\cdot m_{t}\cdot L)={\frac {m_{t+1}}{m_{t}}}}$.

Пусть ${\displaystyle \phi }$ – одинаковые издержки ресурсов на создание промежуточного товара одного нового вида (инвестиции в НИОКР). Тогда для увеличения количества используемых промежуточных товаров с ${\displaystyle m_{t}}$ до ${\displaystyle m_{t+1}}$ требуется ${\displaystyle (m_{t+1}-m_{t})\phi }$ ресурсов. Средства нужны также на производство существующих промежуточных товаров каждого вида ${\displaystyle i}$ в размере ${\displaystyle \gamma xm_{t}}$. Тогда инвестиционный спрос

${\displaystyle I_{t}=(m_{t+1}-m_{t})\phi +\gamma xm_{t}}$.

Если ${\displaystyle s}$ – доля дохода, которая тратится на сбережения, то равновесие на рынке заёмных средств ${\displaystyle sY_{t}=I_{t}}$ будет иметь вид

${\displaystyle s{\overline {A}}m_{t}L=\phi m_{t+1}-(\phi -\gamma x)m_{t}}$,

или

${\displaystyle m_{t}(s{\overline {A}}L\phi -\gamma x)=\phi m_{t+1}}$.

Откуда ${\displaystyle {\frac {m_{t+1}}{m_{t}}}={\frac {s{\overline {A}}L+\phi -\gamma x}{\phi }},\ \gamma x=\gamma L[{\frac {\alpha ^{2}A}{\gamma }}]^{\frac {1}{1-\alpha }}={\overline {A}}L\alpha ^{2}}$ (из определения ${\displaystyle {\overline {A}}}$).

В результате темпы роста экономики определяются соотношением:

${\displaystyle {\frac {Y_{t+1}}{Y_{t}}}={\frac {m_{t+1}}{m_{t}}}=1+{\frac {{\overline {A}}L}{\phi }}(s-\alpha ^{2})}$.

При ${\displaystyle s>\alpha ^{2}}$ наблюдается устойчивый экономический рост.

Таким образом, согласно модели Ромера технический прогресс определяется процессом разработки новых промежуточных товаров. Экономический рост задаётся темпом роста разнообразия товаров и связан с издержками фирм на НИОКР.

Среди недостатков модели, за которые она подвергается критике, можно выделить бесконечность действия патента на новый продукт, а также отсутствие возможности заимствования технологий. Данные недостатки были учтены в последующих моделях эндогенного НТП – модели ступенек качества и модели заимствования технологий.